Misalkan Anda memiliki n jenis item, dan Anda ingin memilih kumpulan dari r item tersebut. Kami mungkin menginginkan barang-barang ini dalam urutan tertentu. Kami menyebut set item ini permutasi. Jika urutannya tidak penting, kami menyebut himpunan koleksi kombinasi. Untuk kombinasi dan permutasi, Anda dapat mempertimbangkan kasus di mana Anda memilih beberapa dari n jenis lebih dari sekali, yang disebut 'dengan pengulangan', atau kasus di mana Anda memilih setiap jenis hanya sekali, yang disebut 'tidak pengulangan'. Tujuannya adalah untuk dapat menghitung jumlah kombinasi atau permutasi yang mungkin dalam situasi tertentu.
Urutan dan Faktorial Factor
Fungsi faktorial sering digunakan saat menghitung kombinasi dan permutasi. T! berarti N×(N–1)×...×2×1. Misalnya, 5! = 5×4×3×2×1 = 120. Banyaknya cara untuk memesan satu set item adalah faktorial. Ambil tiga huruf a, b dan c. Anda memiliki tiga pilihan untuk huruf pertama, dua untuk yang kedua dan hanya satu untuk yang ketiga. Dengan kata lain, total 3×2×1 = 6 pemesanan. Secara umum, ada n! cara untuk memesan n item.
Permutasi dengan Pengulangan
Misalkan Anda memiliki tiga kamar yang akan Anda cat, dan masing-masing akan dicat satu dari lima warna: merah (r), hijau (g), biru (b), kuning (y) atau oranye (o). Anda dapat memilih setiap warna sebanyak yang Anda suka. Anda memiliki lima warna untuk dipilih untuk ruangan pertama, lima untuk yang kedua dan lima untuk yang ketiga. Ini memberikan total 5 × 5 × 5 = 125 kemungkinan. Secara umum, banyak cara untuk memilih sekelompok r item dalam urutan tertentu dari n pilihan yang dapat diulang adalah n^r.
Permutasi tanpa Pengulangan
Sekarang anggaplah setiap ruangan akan memiliki warna yang berbeda. Anda dapat memilih dari lima warna untuk ruangan pertama, empat untuk yang kedua dan hanya tiga untuk yang ketiga. Ini menghasilkan 5×4×3 = 60, yang kebetulan adalah 5!/2!. Secara umum, banyaknya cara bebas untuk memilih r item dalam urutan tertentu dari n pilihan yang tidak dapat diulang adalah n!/(n–r)!.
Kombinasi tanpa Pengulangan
Selanjutnya, lupakan kamar mana yang warnanya apa. Pilih saja tiga warna independen untuk skema warna. Urutan tidak penting di sini, jadi (merah, hijau, biru) sama dengan (merah, biru, hijau). Untuk setiap memilih dari tiga warna ada 3! cara Anda dapat memesannya. Jadi, Anda mengurangi jumlah permutasi sebanyak 3! untuk mendapatkan 5!/(2!×3!) = 10. Secara umum, Anda dapat memilih sekelompok r item dalam urutan apa pun dari pilihan n pilihan yang tidak dapat diulang dalam n!/[(n–r)!×r!] cara.
Kombinasi dengan Pengulangan
Terakhir, Anda perlu membuat skema warna di mana Anda dapat menggunakan warna apa pun sebanyak yang Anda inginkan. Kode pembukuan yang cerdas membantu tugas penghitungan ini. Gunakan tiga X untuk mewakili ruangan. Daftar warna Anda diwakili oleh 'rgbyo'. Campurkan X ke dalam daftar warna Anda, dan kaitkan setiap X dengan warna pertama di sebelah kirinya. Misalnya, rgXXbyXo berarti ruang pertama berwarna hijau, yang kedua berwarna hijau dan yang ketiga berwarna kuning. Sebuah X harus memiliki setidaknya satu warna di sebelah kiri, jadi ada lima slot yang tersedia untuk X pertama. Karena daftar sekarang termasuk X, ada enam slot yang tersedia untuk X kedua dan tujuh slot yang tersedia untuk X ketiga. Secara keseluruhan, ada 5×6×7 = 7!/4! cara menulis kode. Namun, urutan kamarnya sewenang-wenang, jadi sebenarnya hanya ada 7!/(4!×3!) pengaturan unik. Secara umum, Anda dapat memilih r item dalam urutan apa pun dari n pilihan yang dapat diulang dalam (n+r–1)!/[(n–1)!×r!] cara.