Mengintegrasikan fungsi adalah salah satu aplikasi inti kalkulus. Terkadang, ini langsung, seperti dalam:
F(x) = \int( x^3 + 8) dx
Dalam contoh yang relatif rumit dari jenis ini, Anda dapat menggunakan versi rumus dasar untuk mengintegrasikan integral tak tentu:
\int (x^n + A) dx = \frac{x^{(n + 1)}}{n + 1} + Ax + C
dimanaSEBUAHdanCadalah konstanta.
Jadi untuk contoh ini,
\int x^3 + 8 = \frac{x^4}{4} + 8x + C
Integrasi Fungsi Akar Kuadrat Dasar
Di permukaan, mengintegrasikan fungsi akar kuadrat itu canggung. Misalnya, Anda mungkin terhalang oleh:
F(x) = \int \sqrt{(x^3) + 2x - 7}dx
Tetapi Anda dapat menyatakan akar kuadrat sebagai eksponen, 1/2:
\sqrt{x^3} = x^{3(1/2)} = x^{(3/2)}
Oleh karena itu integralnya menjadi:
\int (x^{3/2} + 2x - 7)dx
di mana Anda dapat menerapkan rumus biasa dari atas:
\begin{aligned} \int (x^{3/2} + 2x - 7)dx &= \frac{x^{(5/2)}}{5/2} + 2\bigg(\frac{x ^2}{2}\bigg) - 7x \\ &= \frac{2}{5}x^{(5/2)} + x^2 - 7x \end{aligned}
Integrasi Fungsi Akar Kuadrat yang Lebih Kompleks
Terkadang, Anda mungkin memiliki lebih dari satu istilah di bawah tanda radikal, seperti dalam contoh ini:
F(x) = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x - 3}}dx
Kamu bisa memakaikamu-substitusi untuk melanjutkan. Di sini, Anda mengaturkamusama dengan jumlah penyebut:
u = \sqrt{x - 3}
Selesaikan ini untukxdengan mengkuadratkan kedua ruas dan mengurangkan:
u^2 = x - 3 \\ x = u^2 + 3
Ini memungkinkan Anda untuk mendapatkan dx dalam halkamudengan mengambil turunan darix:
dx = (2u) du
Mensubstitusikan kembali ke integral asli menghasilkan
\begin{aligned} F(x) &= \int \frac{u^2 + 3 + 1}{u}(2u) du \\ &= \int \frac{2u^3 + 6u + 2u}{u }du \\ &= \int (2u^2 + 8)du \end{aligned}
Sekarang Anda dapat mengintegrasikan ini menggunakan rumus dasar dan ekspresikamuistilah darix:
\begin{aligned} \int (2u^2 + 8)du &= \frac{2}{3}u^3 + 8u + C \\ &= \frac{2}{3} (\sqrt{x - 3})^3 + 8( \sqrt{x - 3}) + C \\ &= \frac{2}{3} (x - 3)^{(3/2)} + 8(x - 3) ^{(1/2)} + C \end{selaras}