Menemukan faktor persekutuan terbesar, atau FPB, dari dua bilangan berguna dalam banyak situasi dalam matematika, tetapi khususnya dalam penyederhanaan pecahan. Jika Anda bergumul dengan ini atau menemukan penyebut yang sama, mempelajari dua metode untuk menemukan faktor-faktor umum akan membantu Anda mencapai apa yang ingin Anda lakukan. Namun, pertama-tama, ada baiknya untuk mempelajari dasar-dasar faktor; kemudian, Anda dapat melihat dua pendekatan untuk menemukan faktor umum. Terakhir, Anda dapat melihat bagaimana menerapkan pengetahuan Anda untuk menyederhanakan pecahan.
Apa itu Faktor?
Faktor adalah angka yang Anda kalikan bersama untuk menghasilkan angka lain. Misalnya, 2 dan 3 adalah faktor dari 6, karena 2 × 3 = 6. Demikian pula, 3 dan 3 adalah faktor dari 9, karena 3 × 3 = 9. Seperti yang Anda ketahui, bilangan prima adalah bilangan yang tidak memiliki faktor selain dirinya sendiri dan 1. Jadi 3 adalah bilangan prima, karena hanya dua bilangan bulat (bilangan bulat) yang dapat dikalikan menjadi 3 sebagai jawaban adalah 3 dan 1. Dengan cara yang sama, 7 adalah bilangan prima, dan begitu juga 13.
Karena itu, sering kali membantu untuk memecah angka menjadi "faktor utama". Ini berarti menemukan semua faktor bilangan prima dari bilangan lain. Ini pada dasarnya memecah angka menjadi "blok bangunan" fundamentalnya, yang merupakan langkah berguna menuju menemukan faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan dan juga sangat berharga dalam hal menyederhanakan kuadrat akar.
Menemukan Faktor Persekutuan Terbesar: Metode Satu
Metode paling sederhana untuk menemukan faktor persekutuan terbesar dari dua angka adalah dengan mendaftar semua faktor dari setiap angka dan mencari angka tertinggi yang dimiliki keduanya. Bayangkan Anda ingin mencari faktor persekutuan tertinggi dari 45 dan 60. Pertama, lihat angka-angka berbeda yang dapat Anda kalikan bersama untuk menghasilkan 45.
Cara termudah untuk memulai adalah dengan dua yang Anda tahu akan berhasil, bahkan untuk bilangan prima. Dalam hal ini, kita tahu 1 × 45 = 45, jadi kita tahu 1 dan 45 adalah faktor dari 45. Ini adalah faktor pertama dan terakhir dari 45, jadi Anda bisa mengisinya dari sana. Selanjutnya, cari tahu apakah 2 merupakan faktor. Ini mudah, karena setiap bilangan genap akan habis dibagi 2, dan bilangan ganjil tidak akan habis. Jadi kita tahu bahwa 2 bukan faktor dari 45. Bagaimana dengan 3? Anda harus dapat melihat bahwa 3 adalah faktor dari 45, karena 3 × 15 = 45 (Anda selalu dapat membangun apa yang Anda tahu untuk menyelesaikan ini, misalnya, Anda akan tahu bahwa 3 × 12 = 36, dan menambahkan tiga ke ini membawa Anda ke 45).
Selanjutnya, apakah 4 merupakan faktor dari 45? Tidak – Anda tahu 11 × 4 = 44, jadi tidak mungkin! Selanjutnya, bagaimana dengan 5? Ini adalah satu lagi yang mudah, karena setiap angka yang berakhiran 0 atau 5 habis dibagi 5. Dan dengan ini, Anda dapat dengan mudah mengetahui bahwa 5 × 9 = 45. Tetapi 6 tidak baik karena 7 × 6 = 42 dan 8 × 6 = 48. Dari sini Anda juga dapat melihat bahwa 7 dan 8 bukan faktor dari 45. Kita sudah tahu 9 adalah, dan mudah untuk melihat bahwa 10 dan 11 bukanlah faktor. Lanjutkan proses ini, dan Anda akan melihat bahwa 15 adalah faktor, tetapi tidak ada yang lain.
Jadi faktor dari 45 adalah: 1, 3, 5, 9, 15 dan 45.
Untuk 60, Anda menjalankan proses yang sama persis. Kali ini angkanya genap (jadi Anda tahu 2 adalah faktor) dan habis dibagi 10 (jadi 5 dan 10 adalah faktor keduanya), yang membuat segalanya menjadi lebih mudah. Setelah melalui proses lagi, Anda akan melihat bahwa faktor dari 60 adalah: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 dan 60.
Membandingkan dua daftar menunjukkan bahwa 15 adalah faktor persekutuan terbesar dari 45 dan 60. Metode ini bisa memakan waktu, tetapi sederhana dan akan selalu berhasil. Anda juga dapat memulai dari faktor persekutuan tinggi mana pun yang dapat Anda temukan langsung, dan kemudian cukup mencari faktor yang lebih tinggi dari setiap angka.
Menemukan Faktor Persekutuan Terbesar: Metode Dua
Cara kedua untuk mencari FPB dua bilangan adalah dengan menggunakan faktor prima. Proses faktorisasi prima sedikit lebih mudah dan lebih terstruktur daripada menemukan setiap faktor. Mari kita lakukan proses untuk 42 dan 63.
Proses faktorisasi prima pada dasarnya melibatkan pemecahan angka sampai Anda hanya tersisa dengan bilangan prima. Yang terbaik adalah memulai dengan bilangan prima terkecil (dua) dan bekerja dari sana. Jadi untuk 42, mudah untuk melihat bahwa 2 × 21 = 42. Kemudian bekerja dari 21: Apakah 2 faktor? Tidak. Apakah 3? Iya! 3 × 7 = 21, dan 3 dan 7 keduanya bilangan prima. Ini berarti faktor prima dari 42 adalah 2, 3 dan 7. "Tembusan" pertama menggunakan 2 untuk mencapai 21, dan yang kedua memecahnya menjadi 3 dan 7. Anda dapat memeriksa ini dengan mengalikan semua faktor Anda bersama-sama dan memeriksa Anda mendapatkan nomor aslinya: 2 × 3 × 7 = 42.
Untuk 63, 2 bukan faktor, tetapi 3, karena 3 × 21 = 63. Sekali lagi, 21 dipecah menjadi 3 dan 7 – keduanya prima – jadi Anda tahu faktor primanya! Pemeriksaan menunjukkan bahwa 3 × 3 × 7 = 63, sesuai kebutuhan.
Anda menemukan faktor persekutuan tertinggi dengan melihat faktor prima yang sama dari kedua bilangan tersebut. Dalam hal ini, 42 memiliki 2, 3 dan 7, dan 63 memiliki 3, 3 dan 7. Mereka memiliki 3 dan 7 kesamaan. Untuk menemukan faktor persekutuan tertinggi, kalikan semua faktor prima persekutuan bersama-sama. Dalam kasus ini, 3 × 7 = 21, jadi 21 adalah faktor persekutuan terbesar dari 42 dan 63.
Contoh sebelumnya dapat diselesaikan lebih cepat dengan cara ini juga. Karena 45 habis dibagi tiga (3 × 15 = 45), dan 15 juga habis dibagi tiga (3 × 5 = 15), faktor prima dari 45 adalah 3, 3 dan 5. Untuk 60, itu habis dibagi dua (2 × 30 = 60), 30 juga habis dibagi dua (2 × 15 = 30), dan kemudian tersisa 15, yang kita tahu memiliki tiga dan lima sebagai faktor prima, meninggalkan 2, 2, 3 dan 5. Membandingkan dua daftar, tiga dan lima adalah faktor prima persekutuan, jadi faktor persekutuan terbesar adalah 3 × 5 = 15.
Jika ada tiga atau lebih faktor prima persekutuan, Anda mengalikan semuanya dengan cara yang sama untuk menemukan faktor persekutuan terbesar.
Menyederhanakan Pecahan Dengan Faktor Persekutuan
Jika Anda disajikan dengan pecahan seperti 32/96, itu dapat membuat perhitungan apa pun setelahnya menjadi sangat rumit kecuali Anda dapat menemukan cara untuk menyederhanakan pecahan. Menemukan faktor persekutuan terendah dari 32 dan 96 akan memberi tahu Anda angka untuk membagi keduanya, untuk mendapatkan pecahan yang lebih sederhana. Pada kasus ini:
32 = 2 × 16 \\ 16 = 2 × 2 × 2 × 2 \\ \text{Jadi } 32 = 2^5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Untuk 96, prosesnya memberikan:
96 = 48 × 2 \\ 48 = 24 × 2 \\ 24 = 12 × 2 \\ 12 = 6 × 2 \\ 6 = 3 × 2 \\ \text{Jadi } 96 = 2^5 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
Harus jelas bahwa 25 = 32 adalah faktor persekutuan tertinggi. Membagi kedua bagian pecahan dengan 32 menghasilkan:
\frac{32}{96} = \frac{1}{3}
Menemukan penyebut yang sama adalah proses yang serupa. Bayangkan Anda harus menjumlahkan pecahan 15/45 dan 40/60. Kita tahu dari contoh pertama bahwa 15 adalah faktor persekutuan tertinggi dari 45 dan 60, jadi kita bisa langsung menyatakannya sebagai 15/5 dan 10/15. Karena 3 × 5 = 15, dan kedua pembilangnya juga habis dibagi lima, kita dapat membagi kedua bagian dari kedua pecahan dengan lima untuk mendapatkan 1/3 dan 2/3. Sekarang mereka jauh lebih mudah untuk menambahkan dan melihatnya
\frac{15}{45} + \frac{40}{60} = 1