Jika Anda melihat ekspresi 32 dan 53, Anda mungkin mengumumkan dengan penuh semangat bahwa ini berarti "tiga kuadrat" dan "lima pangkat tiga", dan dapat terus mencari angka yang setara tanpa eksponen, angka-angka yang diwakili oleh superskrip di kanan atas di atas. Angka-angka ini dalam hal ini adalah 9 dan 125.
Tetapi bagaimana jika, alih-alih, katakanlah, fungsi eksponensial sederhana seperti y = x 3, Anda malah harus menyelesaikan persamaan seperti y = 3x. Di sini x, variabel terikat, muncul sebagai eksponen. Apakah ada cara untuk menarik variabel itu turun dari tempat bertenggernya agar lebih mudah menanganinya secara matematis?
Sebenarnya ada, dan jawabannya terletak pada pelengkap alami dari eksponen, yang merupakan kuantitas yang menyenangkan dan bermanfaat yang dikenal sebagai logaritma.
Apa Itu Eksponen?
Sebuah eksponen, juga disebut kekuasaan, adalah cara terkompresi untuk menyatakan perkalian berulang dari suatu bilangan dengan sendirinya. 45 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1,024.
- Setiap angka yang dipangkatkan 1 mempertahankan nilai yang sama; setiap angka dengan eksponen 0 sama dengan 1. Misalnya, 72 1 = 72; 720 = 1.
Eksponen bisa negatif, menghasilkan hubungan xn= 1/(xtidak). Mereka juga dapat dinyatakan sebagai pecahan, misalnya, 2(5/3). Jika dinyatakan sebagai pecahan, pembilang dan penyebutnya harus bilangan bulat.
Apa Itu Logaritma?
Logaritma, atau "log", dapat dianggap sebagai eksponen yang dinyatakan sebagai sesuatu selain kekuatan. Itu mungkin tidak banyak membantu, jadi mungkin satu atau dua contoh akan membantu.
Dalam ekspresi 103 = 1,000, bilangan 10 adalah mendasarkan, dan itu dinaikkan ke kekuatan ketiga (atau kekuatan dari tiga). Anda dapat menyatakan ini sebagai, "basis 10 yang dipangkatkan ketiga sama dengan 1.000."
Contoh logaritma adalah catatan10(1,000) = 3. Perhatikan bahwa angka dan hubungannya satu sama lain sama seperti pada contoh sebelumnya, tetapi telah dipindahkan. Dengan kata lain, ini berarti, "basis log 10 dari 1.000 sama dengan 3."
Besaran di sebelah kanan adalah pangkat yang harus dinaikkan ke basis 10 agar sama dengan argumen, atau masukan log, nilai dalam tanda kurung (dalam hal ini 1.000). Nilai ini harus positif, karena basis — yang dapat berupa angka selain 10, tetapi dianggap 10 jika dihilangkan, misalnya, "log 4" — juga selalu positif.
Aturan Logaritma yang Bermanfaat
Jadi bagaimana Anda bisa bekerja dengan mudah antara log dan eksponen? Beberapa aturan tentang perilaku log dapat membantu Anda memulai masalah eksponen.
log_{b}(xy) = log_{b}{x} + log_{b}y log_{b}(\dfrac{x}{y}) = log_{b}{x} \text{ }log_{ b}y log_{b}(x^A) = A⋅log_{b}(x) log_{b}(\dfrac{1}{y}) = log_{b}(y)
Memecahkan untuk Eksponen
Dengan informasi di atas, Anda siap untuk mencoba memecahkan eksponen dalam persamaan.
Contoh: Jika 50 = 4x, apa itu x?
Jika Anda mengambil log ke basis 10 dari setiap sisi dan menghilangkan identifikasi eksplisit dari basis, ini menjadi log 50 = log 4x. Dari kotak di atas, Anda tahu bahwa log 4x = x log4. Ini meninggalkan Anda dengan
log 50 = x log 4, atau x = (log 50)/(log 4).
Dengan menggunakan kalkulator atau perangkat elektronik pilihan Anda, Anda menemukan bahwa solusinya adalah (1.689/0.602) = 2.82.
Memecahkan Persamaan Eksponensial Dengan e
Aturan yang sama berlaku ketika basisnya adalah e, disebut logaritma natural, yang memiliki nilai sekitar 2.7183. Anda juga harus memiliki tombol untuk ini di kalkulator Anda. Nilai ini juga mendapatkan notasinya sendiri: logex ditulis hanya "ln x."
- Fungsi y = ex i, dengan e bukan variabel tetapi konstanta dengan nilai ini, adalah satu-satunya fungsi dengan kemiringan yang sama dengan tingginya sendiri untuk semua x dan y.
- Sama seperti log1010x = x, ln ex = x untuk semua x.
Contoh: Selesaikan persamaan 16 = e2,7x.
Seperti di atas, ln 16 = ln e2,7x = 2,7x.
ln 16 = 2,77 = 2,7x, jadi x = 2/77/2,7 = 1.03.