Dengan Super Bowl yang sudah dekat, para atlet dan penggemar di seluruh dunia memiliki fokus yang tetap pada pertandingan besar. Tetapi untuk _math_letes, pertandingan besar mungkin akan mengingatkan kita pada sedikit masalah yang berkaitan dengan kemungkinan skor dalam permainan sepak bola. Dengan hanya opsi terbatas untuk jumlah poin yang dapat Anda skor, beberapa total tidak dapat dicapai, tetapi apa yang tertinggi? Jika Anda ingin tahu apa yang menghubungkan koin, sepak bola, dan nugget ayam McDonald, ini adalah masalah bagi Anda.
Soal Matematika Super Bowl
Masalahnya melibatkan kemungkinan skor yang mungkin dicapai oleh Los Angeles Rams atau New England Patriots pada hari Minggu tanpa keamanan atau konversi dua titik. Dengan kata lain, cara yang diperbolehkan untuk meningkatkan skor mereka adalah 3 poin field goal dan 7 poin touchdown. Jadi, tanpa pengaman, Anda tidak dapat mencapai skor 2 poin dalam permainan dengan kombinasi 3s dan 7s. Demikian pula, Anda juga tidak dapat mencapai skor 4, Anda juga tidak dapat mencetak skor 5.
Pertanyaannya adalah: Berapa skor tertinggi itu tidak bisa dicapai dengan hanya 3-point field goal dan 7-point touchdown?
Tentu saja, touchdown tanpa konversi bernilai 6, tetapi karena Anda dapat mencapainya dengan dua sasaran lapangan, itu tidak masalah untuk masalahnya. Juga, karena kita berurusan dengan matematika di sini, Anda tidak perlu khawatir tentang taktik tim tertentu atau bahkan batasan kemampuan mereka untuk mencetak poin.
Cobalah untuk menyelesaikan ini sendiri sebelum melanjutkan!
Menemukan Solusi (Jalan Lambat)
Masalah ini memiliki beberapa solusi matematika yang kompleks (lihat Sumberdaya untuk perincian lengkap, tetapi hasil utama akan diperkenalkan di bawah), tetapi ini adalah contoh yang baik tentang bagaimana ini tidak dibutuhkan untuk menemukan jawabannya.
Yang harus Anda lakukan untuk menemukan solusi brute force adalah dengan mencoba setiap skor secara bergantian. Jadi kami tahu Anda tidak dapat mencetak 1 atau 2, karena mereka kurang dari 3. Kami telah menetapkan bahwa 4 dan 5 tidak mungkin, tetapi 6 adalah, dengan dua sasaran lapangan. Setelah 7 (mana yang mungkin), dapatkah Anda mencetak 8? Nggak. Tiga field goal menghasilkan 9, dan field goal dan touchdown yang dikonversi menghasilkan 10. Tapi Anda tidak bisa mendapatkan 11.
Dari titik ini dan seterusnya, sedikit pekerjaan menunjukkan bahwa:
\begin{aligned} 3 × 4 &= 12\\ 7 + (3 × 2) &= 13 \\ 7 × 2 &= 14\\ 3 × 5 &= 15\\ 7 + (3 × 3) &= 16\\ (7 × 2) + 3 &= 17 \end{selaras}
Dan faktanya, Anda dapat terus seperti ini selama yang Anda inginkan. Jawabannya sepertinya 11. Tapi apakah itu?
Solusi Aljabar
Matematikawan menyebut masalah ini "masalah koin Frobenius." Bentuk asli yang terkait dengan koin, seperti: Jika Anda hanya memiliki koin yang dihargai 4 sen dan 11 sen (bukan koin asli, tapi sekali lagi, itu soal matematika untukmu), berapa jumlah uang terbesar yang tidak bisa kamu dapatkan? menghasilkan.
Solusinya, dalam hal aljabar, adalah dengan nilai satu skor p poin dan nilai satu skor q poin, skor tertinggi yang tidak bisa Anda dapatkan (tidak) diberikan oleh:
N = pq \; – \;(p + q)
Jadi memasukkan nilai dari masalah Super Bowl memberikan:
\begin{selaras} N &= 3 × 7\; – \;(3 + 7) \\ &= 21 \;–\; 10\\ &= 11 \end{selaras}
Yang merupakan jawaban yang kami dapatkan dengan cara yang lambat. Jadi bagaimana jika Anda hanya bisa mencetak touchdown tanpa konversi (6 poin) dan touchdown dengan konversi satu poin (7 poin)? Lihat apakah Anda dapat menggunakan rumus untuk menyelesaikannya sebelum membaca.
Dalam hal ini, rumusnya menjadi:
\begin{selaras} N &= 6 × 7\; – \;(6 + 7) \\ &= 42 \;–\; 13\\ &= 29 \end{selaras}
Masalah Chicken McNugget
Jadi permainan selesai dan Anda ingin memberi hadiah kepada tim pemenang dengan perjalanan ke McDonald's. Tetapi mereka hanya menjual McNugget dalam kotak berisi 9 atau 20. Jadi, berapa jumlah nugget tertinggi yang Anda miliki? tidak bisa beli dengan nomor kotak (ketinggalan zaman) ini? Coba gunakan rumus untuk menemukan jawabannya sebelum melanjutkan membaca.
Sejak
N = pq \; – \;(p + q)
Dan dengan p = 9 dan q = 20:
\begin{selaras} N &= 9 × 20\; – \;(9 + 20) \\ &= 180 \;–\; 29\\ &= 151 \end{selaras}
Jadi asalkan Anda membeli lebih dari 151 nugget – tim pemenang mungkin akan sangat lapar, bagaimanapun juga – Anda dapat membeli sejumlah nugget yang Anda inginkan dengan beberapa kombinasi kotak.
Anda mungkin bertanya-tanya mengapa kami hanya membahas versi dua nomor dari masalah ini. Bagaimana jika kita memasukkan pengaman, atau jika McDonalds menjual tiga ukuran kotak nugget? Ada tidak ada rumus yang jelas dalam hal ini, dan sementara sebagian besar versi dapat diselesaikan, beberapa aspek dari pertanyaan tersebut sama sekali belum terpecahkan.
Jadi, mungkin saat Anda menonton pertandingan atau makan potongan ayam, Anda dapat mengklaim bahwa Anda sedang mencoba memecahkan masalah terbuka dalam matematika – patut dicoba untuk keluar dari tugas!