Hukum Gerak Bandul

Pendulum memiliki sifat menarik yang digunakan fisikawan untuk menggambarkan objek lain. Misalnya, orbit planet mengikuti pola yang sama dan berayun di ayunan mungkin terasa seperti Anda berada di bandul. Sifat-sifat ini berasal dari serangkaian hukum yang mengatur gerakan bandul. Dengan mempelajari hukum-hukum ini, Anda dapat mulai memahami beberapa prinsip dasar fisika dan gerak secara umum.

Gerak bandul dapat digambarkan dengan menggunakan

di manaθmewakili sudut antara tali dan garis vertikal di tengah,untukmewakili waktu, danTadalah periode, waktu yang diperlukan untuk terjadinya satu putaran penuh gerak bandul (diukur dengan1/f), dari gerak bandul.

​Gerak harmonik sederhana, atau gerak yang menggambarkan bagaimana kecepatan suatu benda berosilasi sebanding dengan jumlah perpindahan dari kesetimbangan, dapat digunakan untuk menggambarkan persamaan bandul. Ayunan bob pendulum tetap bergerak oleh gaya yang bekerja padanya saat bergerak maju mundur.

•••Syed Hussain Ather

Hukum yang mengatur gerakan pendulum menyebabkan penemuan properti penting. Fisikawan memecah kekuatan menjadi komponen vertikal dan horizontal. Pada gerak bandul,tiga gaya bekerja langsung pada bandul: massa balok, gravitasi, dan tegangan tali. Massa dan gravitasi keduanya bekerja secara vertikal ke bawah. Karena pendulum tidak bergerak ke atas atau ke bawah, komponen vertikal dari tegangan tali meniadakan massa dan gravitasi.

Ini menunjukkan bahwa massa pendulum tidak memiliki relevansi dengan gerakannya, tetapi tegangan tali horizontal memiliki relevansi. Gerak harmonik sederhana mirip dengan gerak melingkar. Anda dapat menggambarkan sebuah objek yang bergerak dalam lintasan melingkar seperti yang ditunjukkan pada gambar di atas dengan menentukan sudut dan jari-jari yang diperlukan pada lintasan melingkar yang sesuai. Kemudian, dengan menggunakan trigonometri segitiga siku-siku antara pusat lingkaran, posisi benda, dan perpindahan di kedua arah x dan y, Anda dapat menemukan persamaanx = rsin (θ)dany = rcos (θ).​

Persamaan satu dimensi dari suatu benda dalam gerak harmonik sederhana diberikan oleh:x = r cos (ωt).Anda dapat lebih lanjut menggantiSEBUAHuntukrdi manaSEBUAHadalahamplitudo, perpindahan maksimum dari posisi awal benda.

Kecepatan sudutωterhadap waktuuntukuntuk sudut-sudut iniθdiberikan oleh= t. Jika Anda mengganti persamaan yang menghubungkan kecepatan sudut dengan frekuensif​, ​ω = 2​​f, Anda dapat membayangkan gerak melingkar ini, maka, sebagai bagian dari pendulum yang berayun maju mundur, maka persamaan gerak harmonik sederhana yang dihasilkan adalah

•••Syed Hussain Ather

Bandul, seperti massa pada pegas, adalah contoh dariosilator harmonik sederhana: Ada gaya pemulih yang meningkat tergantung pada seberapa besar perpindahan pendulum, dan gerakannya dapat dijelaskan dengan menggunakanpersamaan osilator harmonik sederhana​

di manaθmewakili sudut antara tali dan garis vertikal di tengah,untukmewakili waktu danTadalahTitik, waktu yang diperlukan untuk terjadinya satu putaran penuh gerak bandul (diukur dengan1/f), dari gerak bandul.

​θ_maksimaladalah cara lain untuk menentukan maksimum sudut berosilasi selama gerakan pendulum dan merupakan cara lain untuk menentukan amplitudo pendulum. Langkah ini dijelaskan di bawah pada bagian "Definisi Pendulum Sederhana".

Implikasi lain dari hukum bandul sederhana adalah bahwa periode osilasi dengan panjang konstan tidak tergantung pada ukuran, bentuk, massa, dan bahan benda di ujung tali. Hal ini ditunjukkan dengan jelas melalui derivasi bandul sederhana dan persamaan yang dihasilkan.

Anda dapat menentukan persamaan untuk abandul sederhana, definisi yang bergantung pada osilator harmonik sederhana, dari serangkaian langkah yang dimulai dengan persamaan gerak bandul. Karena gaya gravitasi pendulum sama dengan gaya gerakan pendulum, Anda dapat mengaturnya sama satu sama lain menggunakan hukum kedua Newton dengan massa pendulumsaya, panjang taliL, sudutθ,percepatan gravitasigdan selang waktuuntuk​.

•••Syed Hussain Ather

Anda menetapkan hukum kedua Newton sama dengan momen inersiasaya=mr²untuk beberapa massasayadan jari-jari gerakan melingkar (panjang tali dalam hal ini)rkali percepatan sudutα​.

1. ​F = Ma: Hukum kedua Newton menyatakan bahwa gaya totalFpada suatu benda sama dengan massa benda dikalikan dengan percepatan.
2. ​Ma = saya: Ini memungkinkan Anda mengatur gaya percepatan gravitasi (-Mg sin (θ)L)sama dengan gaya rotasi
   
3. ​-Mg sin (θ)L = saya​: Anda dapat memperoleh arah untuk gaya vertikal karena gravitasi (-Mg) dengan menghitung percepatan sebagaidosa (θ)Ljikasin (θ) = d/Luntuk beberapa perpindahan horizontalddan sudutθ​ untuk memperhitungkan arah.
   
4. ​-Mg sin (θ)L = ML² α: Anda mengganti persamaan untuk momen inersia benda yang berputar menggunakan panjang tali L sebagai jari-jari.
   
5. ​-Mg sin (θ)L = -ML²​​d²/dt: Hitung percepatan sudut dengan mengganti turunan kedua sudut terhadap waktu untukα.Langkah ini membutuhkan kalkulus dan persamaan diferensial.
   
6. ​d²/dt² + (g/L)sinθ = 0: Anda dapat memperoleh ini dari mengatur ulang kedua sisi persamaan
   
7. ​d²/dt² + (g/L)θ = 0: Anda dapat memperkirakandosa (θ)sebagaiθuntuk keperluan pendulum sederhana pada sudut osilasi yang sangat kecil
   
8. ​(t) =_maksimalcos (t (L/g)²): Persamaan gerak memiliki solusi ini. Anda dapat memverifikasinya dengan mengambil turunan kedua dari persamaan ini dan bekerja untuk mendapatkan langkah 7.

Ada cara lain untuk membuat turunan bandul sederhana. Pahami makna di balik setiap langkah untuk melihat bagaimana mereka terkait. Anda dapat menggambarkan gerakan bandul sederhana menggunakan teori-teori ini, tetapi Anda juga harus mempertimbangkan faktor-faktor lain yang dapat mempengaruhi teori bandul sederhana.

Jika Anda membandingkan hasil dari derivasi ini

ke persamaan osilator harmonik sederhanaby mengaturnya sama satu sama lain, Anda dapat menurunkan persamaan untuk periode T:

Perhatikan bahwa persamaan ini tidak bergantung pada massasayabandul, amplitudoθ_maksimal, juga tidak tepat waktuuntuk. Itu berarti periode tidak tergantung pada massa, amplitudo, dan waktu, tetapi sebaliknya, bergantung pada panjang tali. Ini memberi Anda cara singkat untuk mengekspresikan gerakan pendulum.

Dengan persamaan periode, Anda dapat mengatur ulang persamaan untuk mendapatkan

dan ganti 1 detik untukTdan9,8 m/s²untukguntuk memperolehL =0,0025 m. Ingatlah persamaan teori bandul sederhana ini mengasumsikan panjang tali tidak bergesekan dan tidak bermassa. Untuk memperhitungkan faktor-faktor tersebut akan membutuhkan persamaan yang lebih rumit.

Anda dapat menarik pendulum kembali sudutθuntuk membiarkannya berayun maju mundur untuk melihatnya berosilasi seperti pegas. Untuk pendulum sederhana, Anda dapat menggambarkannya menggunakan persamaan gerak osilator harmonik sederhana. Persamaan gerak bekerja dengan baik untuk nilai sudut yang lebih kecil danamplitudo, sudut maksimum, karena model bandul sederhana bergantung pada pendekatan bahwadosa (θ)​ ≈ ​θuntuk beberapa sudut pendulumθ.Sebagai nilai sudut dan amplitudo menjadi lebih besar dari sekitar 20 derajat, pendekatan ini tidak bekerja dengan baik.

Cobalah sendiri. Sebuah bandul berayun dengan sudut awal yang besarθtidak akan berosilasi secara teratur untuk memungkinkan Anda menggunakan osilator harmonik sederhana untuk menggambarkannya. Pada sudut awal yang lebih kecilθ, pendulum mendekati gerakan osilasi reguler dengan lebih mudah. Karena massa bandul tidak berpengaruh pada gerakannya, fisikawan telah membuktikan bahwa semua bandul memiliki periode osilasi yang sama. sudut – sudut antara pusat bandul pada titik tertinggi dan pusat bandul pada posisi berhenti – kurang dari 20 derajat.

Untuk semua tujuan praktis dari pendulum yang bergerak, pendulum pada akhirnya akan melambat dan berhenti karena gesekan antara tali dan titik pengikatnya di atas serta karena hambatan udara antara bandul dan udara di sekitarnya.

Untuk contoh praktis gerakan pendulum, periode dan kecepatan akan tergantung pada jenis bahan yang digunakan yang akan menyebabkan contoh gesekan dan hambatan udara ini. Jika Anda melakukan perhitungan pada perilaku osilasi pendulum teoretis tanpa memperhitungkan gaya-gaya ini, maka itu akan memperhitungkan pendulum yang berosilasi tanpa batas.

Hukum pertama Newton mendefinisikan kecepatan benda dalam menanggapi gaya. Hukum menyatakan bahwa jika suatu benda bergerak dengan kecepatan tertentu dan dalam garis lurus, itu akan terus bergerak dengan kecepatan itu dan dalam garis lurus, tanpa batas, selama tidak ada gaya lain yang bekerja padanya. Bayangkan melempar bola lurus ke depan – bola akan mengitari bumi berulang-ulang jika hambatan udara dan gravitasi tidak bekerja padanya. Hukum ini menunjukkan bahwa karena pendulum bergerak dari sisi ke sisi dan bukan ke atas dan ke bawah, maka tidak ada gaya ke atas dan ke bawah yang bekerja padanya.

Hukum kedua Newton digunakan dalam menentukan gaya total pada bandul dengan mengatur gaya gravitasi sama dengan gaya tali yang menarik kembali bandul. Menetapkan persamaan ini sama satu sama lain memungkinkan Anda menurunkan persamaan gerak untuk bandul.

Hukum III Newton menyatakan bahwa setiap aksi memiliki reaksi yang sama besarnya. Hukum ini bekerja dengan hukum pertama yang menunjukkan bahwa meskipun massa dan gravitasi membatalkan komponen vertikal dari vektor tegangan tali, tidak ada yang membatalkan komponen horizontal. Hukum ini menunjukkan bahwa gaya yang bekerja pada bandul dapat saling meniadakan.

Fisikawan menggunakan hukum pertama, kedua dan ketiga Newton untuk membuktikan tegangan tali horizontal menggerakkan pendulum tanpa memperhatikan massa atau gravitasi. Hukum bandul sederhana mengikuti gagasan tiga hukum gerak Newton.