Láttál már olyat egy játékmadár közül, amely képes csőrénél fogva egyensúlyozni az ujjbegyén, anélkül, hogy megbillenne, mintha varázsütésre? Egyáltalán nem a varázslat teszi lehetővé a madár egyensúlyát, hanem a tömegközépponthoz kapcsolódó egyszerű fizika.
A tömegközéppont mögötti fizika megértése nemcsak a lendület megőrzését és más kapcsolódó megértését teszi lehetővé fizika, de a stabilitást és a dinamikát is megismerheti az általad végzett sportágakban, valamint lehetővé teheti a kreatív kiegyensúlyozást cselekmények.
A tömegközéppont meghatározása
Egy tárgyéa tömeg közepe, amelyet néha súlypontnak is neveznek, úgy tekinthetünk arra a pontra, ahol egy tárgy vagy rendszer teljes tömegét pont tömegként lehet kezelni. Bizonyos helyzetekben a külső erőket úgy lehet kezelni, mintha a tárgy tömegközéppontjára hatnának.
Az ujjbegyén egyensúlyozó játékmadár esetében a tömegközéppont a csőrénél van. Ez eleinte helytelennek tűnhet, ezért tűnik az egyensúlyozás mágikusnak. Valóban, egy ágon ülő madár esetében tömegközéppontja valahol a testében van. De az egyensúlyozó madárjátéknak gyakran vannak súlyozott szárnyai, amelyek kifelé és előre nyúlnak, és ettől eltérően egyensúlyoznak.
A tömegközéppont meghatározható egyetlen objektumra - például a kiegyensúlyozó madárra -, vagy kiszámítható több tárgyból álló rendszerre is, amint azt egy későbbi szakaszban láthatja.
Miseközpont egyetlen tárgyhoz
A merev testen mindig lesz egyetlen pont, amely az adott test tömegközéppontjának a helye. Egy tárgy tömegközéppontjának helyzete a tömeg eloszlásától függ.
Ha egy tárgy sűrűsége egyenletes, akkor annak tömegközéppontját könnyebb meghatározni. Például egyenletes sűrűségű körben a tömegközéppont a kör közepe. (Ez azonban nem így lenne, ha a kör az egyik oldalon sűrűbb lenne, mint a másik).
Valójában a tömegközéppont mindig az objektum geometriai középpontjában lesz, ha a sűrűség egyenletes. (Ezt a geometriai középpontot nevezzükcentroid.)
Ha a sűrűség nem egyenletes, akkor más módon is meg lehet határozni a tömegközéppontot. Ezen módszerek némelyike magában foglalja a számítás alkalmazását, amely meghaladja a cikk kereteit. De egy merev tárgy tömegközéppontjának meghatározásának egyik egyszerű módja az, ha egyszerűen megpróbálja egyensúlyba hozni az ujjával. A tömegközéppont a kiegyensúlyozási ponton lesz.
Egy másik, síkbeli objektumoknál hasznos módszer a következő:
- Felfüggeszti az alakzatot az egyik élpontból, a mellékvonallal együtt.
- Rajzoljon egy vonalat az alakra, amely egy vonalba esik a mérőszalaggal.
- Függessze fel az alakzatot egy másik élpontról a mellékvonallal együtt.
- Rajzoljon egy vonalat az alakra, amely egybeesik az új mérőszalaggal.
- A két megrajzolt vonalnak egyetlen pontban kell metszenie egymást.
- Ez az egyedülálló kereszteződés a tömegközéppont helye.
Egyes tárgyak esetében azonban lehetséges, hogy az egyensúlyi pont kívül esik az objektum határain. Gondoljon például egy gyűrűre. A gyűrű alakjának tömegközéppontja a középpontban van, ahol a gyűrűnek egyáltalán nincs része.
A részecskék rendszerének tömegközéppontja
A részecskerendszer tömegközéppontjának átlagos tömegpozíciójának tekinthető.
Ugyanazt az ötletet lehet használni, mint egy merev tárgy esetében, ha úgy gondolja, hogy a részecskék ezen rendszerét merev, tömeg nélküli sík köti össze. A tömegközéppont akkor a rendszer egyensúlyi pontja lenne.
A részecskerendszer tömegközéppontjának matematikai meghatározásához a következő egyszerű képlet használható:
\ vec {r} = \ frac {1} {M} (m_1 \ vec {r_1} + m_2 \ vec {r_2} + ...
HolMa rendszer teljes tömege,ménaz egyes tömegek ésrénhelyzetvektoraik.
Egy dimenzióban (az egyenes mentén elosztott tömegek esetén) helyettesíthetirval velx.
Két dimenzióban megtalálhatja ax-koordinátája ésy- a tömegközéppont koordinátája külön-külön:
x_ {cm} = \ frac {1} {M} (m_1x_1 + m_2x_2 +... \\ \ text {} \\ y_ {cm} = \ frac {1} {M} (m_1y_1 + m_2y_2 + ...
Példák a tömegközéppont kiszámítására
1. példa:Keresse meg a következő részecskerendszer tömegközéppontjának koordinátáit: 0,1 kg tömegű részecske az (1, 2) helyen található, 0,05 kg tömegű részecske a (2, 4) helyen található, és 0,075 kg tömegű részecske a (2, 1).
1. megoldás:Alkalmazza a képletet ax- a tömegközéppont koordinátája az alábbiak szerint:
x_ {cm} = \ frac {1} {M} (m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3) \\\ text {} \\ = \ frac {1} {0,1 + 0,05 + 0,075} (0,1 (1) + 0,05 (2) ) + 0,075 (2)) \\\ szöveg {} \\ = 0,079
Ezután alkalmazza a képletet ay- a tömegközéppont koordinátája az alábbiak szerint:
y_ {cm} = \ frac {1} {M} (m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3) \\\ szöveg {} \\ = \ frac {1} {0,1 + 0,05 + 0,075} (0,1 (2) + 0,05 (4) ) + 0,075 (1)) \\\ szöveg {} \\ = 2,11
Tehát a tömegközéppont helye (0,079, 2,11).
2. példa:Keresse meg az egyenletes sűrűségű egyenlő oldalú háromszög tömegközéppontjának helyét, amelynek csúcsa a (0, 0), (1, 0) és (1/2, √3 / 2) pontokban fekszik.
2. megoldás:Meg kell találni ennek az egyenlő oldalú háromszögnek az 1. oldalhosszúságú geometriai középpontját. Axa geometriai középpont koordinátája egyenes - egyszerűen 1/2.
Ay-koordinátája kissé trükkösebb. A helyszínen bekövetkezik, hogy a háromszög tetejétől a (0, 1/2) pontig tartó vonal metszi a többi csúcs bármelyikétől a másik szemközti oldal középpontjáig tartó vonalat. Ha vázlatot készít egy ilyen elrendezésről, egy 30-60-90 derékszögű háromszöget talál, amelynek hosszú lába 0,5, a rövid lába pedig ay-koordináta. Ezen oldalak kapcsolata √3y = 1/2, ennélfogva y = √3 / 6, a tömegközéppont koordinátái pedig (1/2, √3 / 6).
A miseközpont indítványa
Egy objektum vagy tárgyrendszer tömegközéppontjának elhelyezkedése referenciapontként használható számos fizikai számításban.
Ha például kölcsönhatásban lévő részecskék rendszerével dolgozunk, akkor a rendszer tömegközéppontjának megtalálása lehetővé teszi a lineáris impulzus megértését. Amikor a lineáris impulzus megmarad, a rendszer tömegközéppontja állandó sebességgel mozog akkor is, amikor maguk az objektumok lepattannak egymásról.
Egy leeső merev tárgy esetében a gravitáció úgy kezelhető, hogy az az adott tárgy tömegközéppontjára hat, még akkor is, ha az a tárgy forog.
Ugyanez vonatkozik a lövedékekre is. Képzelje el, hogy dobál egy kalapácsot, és ahogy ívben repül a levegőben, vége felé forog. Ez elsőre komplex mozgásnak tűnhet, de kiderült, hogy a kalapács tömegközéppontja szép, sima parabolikus úton mozog.
Egy egyszerű kísérlet hajtható végre, amely ezt bizonyítja úgy, hogy egy kis darab izzószalagot ragaszt a kalapács tömegközéppontjára, majd a kalapácsot a sötét helyiségben leírt módon feldobja. Úgy tűnik, hogy az izzószalag sima ívben mozog, mint egy feldobott labda.
Egyszerű kísérlet: Keresse meg a seprű tömegközéppontját
Egy szórakoztató tömegközép-kísérlet, amelyet otthon végezhet, magában foglalja a seprű tömegközéppontjának megkeresésére szolgáló egyszerű technikát. Ehhez a kísérlethez csak egy seprű és két kéz szükséges.
Kezeit egymástól viszonylag távol tartva tartsa felfelé a seprűt két mutatóujj végén. Ezután lassan hozza közelebb a kezeit egymáshoz, csúsztassa őket a seprű alá. Amikor közelebb helyezi a kezét egymáshoz, észreveheti, hogy az egyik keze végig akar csúszni a seprű fogantyújának alsó oldalán, míg a másik egy darabig a helyén marad, mielőtt elcsúszik.
A seprű kiegyensúlyozott marad, amíg mozog a keze. Végül, amikor két kezed összeér, találkoznak a seprű tömegközéppontjának helyén.
Az emberi test tömegközéppontja
Az emberi test tömegközéppontja valahol a köldök közelében található (köldökgomb). A férfiaknál a tömegközéppont kissé magasabb, mivel nagyobb testtömeget hordoznak a felső testükben, a nőknél pedig a tömegközéppont alacsonyabb, mert nagyobb tömeget hordoznak a csípőjükön.
Ha egy lábon áll, akkor tömegközéppontja elmozdul a láb azon oldala felé, amelyen áll. Észreveheti, hogy jobban hajlik az oldal felé. Ennek oka az, hogy az egyensúly megőrzése érdekében a tömegközéppontnak a láb felett kell maradnia, amelyen egyensúlyoz, különben megdől.
Ha egyik lábával és csípőjével a falhoz áll, és megpróbálja felemelni a másik lábát, akkor valószínűleg lehetetlennek találja, mert a fal megakadályozza, hogy a súlya elmozduljon az egyensúlyi láb felett.
Egy másik dolog, amit meg kell próbálni, háttal állva a falnak állva, sarka pedig a falhoz ér. Ezután próbáljon meg előre hajolni, és megérinteni a padlót anélkül, hogy meghajlítaná a lábát. A nők sikeresebben teljesíthetik ezt a feladatot, mint a férfiak, mert tömegközéppontjuk alacsonyabb testükben van, és előrehajolva még mindig a lábujjukon lehet.
Tömeg és stabilitás központja
A tömegközéppontnak az objektum alapjához viszonyított helyzete meghatározza annak stabilitását. Valami akkor tekinthető stabilan kiegyensúlyozottnak, ha kissé megbillenve, majd elengedve azután visszatér az eredeti helyzetébe ahelyett, hogy tovább billenne és lebukna.
Vegyünk egy háromdimenziós piramis alakot. Ha az alapja egyensúlyban van, akkor stabil. Ha kissé megemeli az egyik végét és elengedi, az visszaesik. De ha megpróbálja egyensúlyba hozni a piramist a csúcsán, akkor a tökéletes egyensúlytól való bármilyen eltérés miatt leomlik.
Megállapíthatja, hogy egy tárgy visszaesik-e eredeti helyzetébe, vagy megbillen-e, ha megnézi a tömegközép helyét az alaphoz képest. Amint a tömegközép elmegy az alap mellett, a tárgy megbillen.
Ha sportol, ismerheti a kész helyzetet, ahol széles testtartással és hajlított térdekkel áll. Ez alacsonyan tartja tömegközéppontját, és a széles alap stabilabbá tesz. Fontolja meg, mennyire nehéz lenne valakinek arra kényszerítenie, hogy megbillentsen, ha kész helyzetben van vs. amikor egyenesen állsz össze lábaddal.
Néhány autónak problémái vannak az átgurítással, amikor éles kanyarokba kerülnek. Ennek oka a tömegközéppontjuk elhelyezkedése. Ha egy jármű tömegközéppontja túl magas, és az alapja nem elég széles, akkor nem kell sok ahhoz, hogy megbillenjen. Mindig az a legjobb, ha a jármű stabilitása érdekében a tömeg legnagyobb része a lehető legkisebb.
