Gondolkodott már azon, vajon mennyi víz vagy kávé fér bele a számtalannak tűnő műanyag eldobható vizespohárba, amelyik tövében keskenyebb, mint felül? Más szóval, szinte minden papír, műanyag vagy más eldobható csésze, amit valaha látott vagy használt? (Hogy igazságos legyek, néhány pohárnak nincs lejtős oldala, ezért hengeres, de ez csak a állandó csészék.)
A fent leírt alaktípus a kúp, amely annak eredménye, hogy egy vonal végigsöpör az űrben, és egy ívelt utat, például egy kört (a legegyszerűbb esetben) vagy egy ellipszist vezet be. A csésze általában nem hegyes (némelyik fagyasztott finomságokat tartalmaz), de geometriai értelemben mégis egy kúp "darabja". Ez megkönnyíti, türelemmel a kötet megtalálását.
Egy kúp kötete
A szabályos vagy jobb kúp térfogatának képlete (vagyis egy kör alakú alapú)
V = \ frac {1} {3} πr ^ 2h
Hol r az alap sugara és h a kúp magassága. Továbbá, mivel oldalról a jobb oldali kúp úgy néz ki, mint két egymásra helyezett derékszögű háromszög, a hossza s a kúp lejtős oldalának értéke megegyezik e háromszögek egyikének hipotenuszával. Így a Pitagorasz-tétel alkalmazásával adható meg:
s = \ sqrt {r ^ 2 + h ^ 2}
Egy kúpos pohár mennyisége: Első rész
Tegyük fel, hogy van egy csésze, amely 8 cm (cm) széles az alján, 10 cm keresztben felül és 15 cm magas. Mennyi folyadék fér bele cm-ben3, más néven milliliter (ml)?
A probléma megközelítésének egyik módja az, hogy megrajzoljuk a csésze keresztmetszetét, vagyis hogy néz ki oldalról, miután pontosan kettévágták a látómezőjére merőlegesen. Ha függőleges vonalakat húz felfelé attól a két ponttól, ahol az alap találkozik az oldalakkal a tetejéig a csészét, akkor a keresztmetszetet két egyenlő, tükröződő derékszögű háromszögre és a téglalap. A háromszögek hosszú "lábai" 15 cm, a rövid "lábak" pedig 1 cm (elosztva az alapszélesség és a felső szélesség közötti különbséget).
Egy kúpos pohár mennyisége: Második rész
Vegye figyelembe, hogy mi történik, ha a csésze oldalait az ábrán az aljzat alatti pontig nyújtja. Nyújtson egy vonalat felfelé a tetejétől a pont felé, amely felé ezek a vonalak összefutnak. (Lehet, hogy nincs helye, hogy az oldalak összeérjenek és zárt háromszöget alkossanak, de a lehető legközelebb kerüljön,)
A hasonló háromszögek elve miatt tudod, hogy a háromszögek hosszú szárának felülről (15 cm) és a kis lábnak (1) az aránya cm) vagy 15: 1 arányban meg kell egyeznie az újonnan létrehozott háromszög kis lábának és a hosszú lábának arányával a „pohár” alja és a pont. Mivel a kis láb értéke 4 cm, a hosszú lábnak ennek ennek a 15-szeresének vagy 60 cm-nek kell lennie.
Így most egy kúp keresztmetszetével foglalkozik, amelynek teljes magassága 15 + 60 = 75 cm és szélessége 10 cm, vagyis 5 cm sugarú. Ennek a kúpnak a térfogata mínusz a csésze tövéig terjedő kúp térfogata, amelynek magassága 60 cm, szélessége 8 cm (r = 4 cm), megkapja a kívánt eredményt:
\ begin {aligned} \ frac {1} {3} × π × 5 ^ 2 × 75 = 1963,5 \ text {mL} \\ \ frac {1} {3} × π × 4 ^ 2 × 60 = 1005,3 \ text {ml} \\ 1963.5 - 1005.3 = 958.2 \ text {ml} \ end {igazítva}
Így a csészéje nagyon közel 1 liter (1000 ml) folyadékot tartalmaz.
Kúp és csésze térfogat-kalkulátor
A különböző kezdeti információkombinációkat tartalmazó kúpokat tartalmazó számológépek listáját lásd a Forrásokban. Alternatív megoldásként használhatja a fenti megközelítést, és feloszthatja a poharat különböző formákra, majd használhatja egyszerűbb képletek (például egy kocka térfogatának képlete) megfelelő kombinációkban, hogy megtalálják az összeget hangerő.