Néha az "exponenciális növekedés" csak egy beszédfigura, utalás mindenre, ami indokolatlanul vagy hihetetlenül gyorsan növekszik. De bizonyos esetekben szó szerint is felfoghatja az exponenciális növekedés gondolatát. Például a nyulak populációja exponenciálisan növekedhet, amikor minden generáció szaporodik, majd utódaik elszaporodnak stb. Az üzleti vagy személyes jövedelem is exponenciálisan növekedhet. Amikor felkérik az exponenciális növekedés valós számításainak elvégzésére, három információval dolgozhat: Kiinduló érték, növekedési (vagy bomlási) sebesség és idő.
TL; DR (túl hosszú; Nem olvastam)
TL; DR (túl hosszú; Nem olvastam)
Az exponenciális növekedés kiszámításához használja a képletet y(t) = a__ekt, hol a az érték a kezdetkor, k a növekedés vagy bomlás sebessége, t az idő és y(t) a populáció értéke akkor t.
Képzelje el, hogy egy tudós egy új baktériumfaj növekedését tanulmányozza. Míg be tudta adni a kiindulási mennyiség, a növekedési sebesség és az idő értékét a populáció növekedési kalkulátorába, úgy döntött, hogy manuálisan kiszámítja a baktériumok populációjának növekedési ütemét.
Visszatekintve aprólékos feljegyzéseire, a tudós úgy látja, hogy kezdő populációja 50 baktérium volt. Öt órával később 550 baktériumot mért meg.
A tudós információinak beillesztése az exponenciális növekedés vagy bomlás egyenletébe, y(t) = a__ekt, neki van:
550 = 50_ek_5
Az egyenletben egyetlen ismeretlen maradt k, vagy az exponenciális növekedés üteme.
Kezdeni a k, először osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 50-gyel. Ez megadja:
550/50 = (50_ek_5) / 50, amely leegyszerűsíti:
11 = e_k_5
Ezután vegyük mindkét oldal természetes logaritmusát, amelyet ln (x). Ez megadja:
ln (11) = ln (e_k_5)
A természetes logaritmus az inverz függvény ex, tehát hatékonyan "visszavonja" a ex függvény az egyenlet jobb oldalán, így:
ln (11) = _k_5
Ezután ossza el mindkét oldalt 5-tel a változó elkülönítéséhez, ami:
k = ln (11) / 5
Most már ismeri az exponenciális növekedés mértékét ennek a baktériumpopulációnak: k = ln (11) / 5. Ha ezzel a populációval további számításokat fog végezni - például a növekedés ütemét bekapcsolva az egyenletbe, és becsülve a populáció méretét t = 10 óra - a legjobb, ha a választ ebben a formában hagyja. De ha nem végez további számításokat, akkor beviheti ezt az értéket egy exponenciális függvény-számológépbe - vagy a tudományos számológépbe -, hogy 0,479579 becsült értéket kapjon. A kísérlet pontos paramétereitől függően ezt 0,48 / órára kerekítheti a számítás vagy a jelölés megkönnyítése érdekében.
Tippek
Ha növekedési üteme 1-nél kisebb lenne, akkor ez azt jelzi, hogy a népesség csökken. Ezt bomlási sebességnek vagy exponenciális bomlási sebességnek nevezik.