A matematikai függvények hatékony eszközök az üzleti életben, a mérnöki tevékenységben és a tudományban, mivel a valós jelenségek miniatűr modelljeként működhetnek. A függvények és relációk megértéséhez egy kicsit bele kell ásni olyan fogalmakba, mint halmazok, rendezett párok és relációk. A függvény egy speciális fajta reláció, amelynek csak egy vanyegy adott értékxérték. Másfajta kapcsolatok léteznek, amelyek funkciónak tűnnek, de nem felelnek meg az egyik szigorú meghatározásának.
TL; DR (túl hosszú; Nem olvastam)
A reláció párokba rendezett számhalmaz. A függvény egy speciális fajta reláció, amelynek csak egy vanyegy adott értékxérték.
Készletek, megrendelt párok és kapcsolatok
A kapcsolatok és függvények leírása segít először a halmazok és a rendezett párok megvitatásában. Röviden: a számok halmaza azok összessége, amelyeket általában göndör zárójelek tartalmaznak, például {15,1, 2/3} vagy {0, .22}. Általában meghatároz egy halmazt egy szabállyal, például az összes páros számot 2 és 10 között, beleértve: {2,4,6,8,10}.
Egy halmaz tetszőleges számú elemet tartalmazhat, vagy egyáltalán nem, azaz a null halmaz {}. A rendezett pár két, zárójelbe zárt szám csoportja, például (0,1) és (45, −2). A kényelem érdekében meghívhatja a rendezett pár első értékét axérték, a második pedig ayérték. Egy reláció rendezett párokat rendez halmazba. Például az {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} halmaz összefüggés. Megrajzolhatja axésyegy reláció értékei egy grafikonon axésytengelyeket.
Kapcsolatok és funkciók
A függvény olyan reláció, amelyben bármely adott adottxértéknek csak egy megfelelője vanyérték. Azt gondolhatja, hogy rendezett párokkal, mindegyikxcsak egy vanyérték egyébként. A fentebb megadott reláció példájában azonban vegye figyelembe, hogy axaz 1. és 2. értéknek két-két megfelelője vanyértékek, 0 és 5, illetve 10 és 15. Ez a reláció nem függvény. A szabály a függvénykapcsolatnak olyan definitivitást ad, amely egyébként nem létezikxértékek. Kérdezhetné, mikorxaz 1, mi azyérték? A fenti összefüggésre a kérdésre nincs határozott válasz; lehet 0, 5 vagy mindkettő.
Most vizsgáljon meg egy példát egy relációra, amely valódi függvény: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6)}. Axaz értékeket sehol nem ismételjük meg. Másik példaként tekintse meg a (z) {(−1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)} elemeket. Néhányyaz értékek megismétlődnek, de ez nem sérti a szabályt. Akkor is elmondhatja ezt, amikor az értékex0,yhatározottan 5.
Grafikus funkciók: Függőleges vonal teszt
Megadhatja, hogy egy reláció függvény-e, ha a grafikonon ábrázolja a számokat, és a függőleges vonal tesztjét alkalmazza. Ha a grafikonon áthaladó függőleges vonal nem metszik egynél több ponton, akkor a reláció függvény.
Funkciók egyenletként
A rendezett párok függvényként történő kiírása egyszerű példát mutat, de hamar unalmas lesz, ha több szám van. Ennek a problémának a kezelésére a matematikusok egyenletekkel írnak függvényeket, mint pl
y = x ^ 2 - 2x + 3
Ezzel a kompakt egyenlettel annyi rendezett párot generálhat, amennyit csak akar: Csatlakoztasson különböző értékeket ehhezx, matekozz, és kijönyértékek.
A funkciók valós felhasználása
Számos funkció matematikai modellként szolgál, lehetővé téve az emberek számára, hogy megismerjék az egyébként titokzatos jelenségek részleteit. Egyszerű példa: a leeső tárgy távolságegyenlete
d = \ frac {1} {2} g t ^ 2
holtaz idő másodpercben, ésga gravitáció miatti gyorsulás. Csatlakoztassa a 9,8-at a föld gravitációjához, másodpercenként négyzetméterben kifejezve, és megtalálja az objektum bármikor eldobott távolságát. Vegye figyelembe, hogy a modellek minden hasznosságuk ellenére korlátozottak. A példaegyenlet jól használható acélgolyó ledobására, de nem toll, mert a levegő lelassítja a tollat.