A háromdimenziós térbeli sík egyenletét algebrai jelöléssel írhatjuk ax + -val + cz = d-vel, ahol legalább az egyik az "a", "b" és "c" valós szám konstansok nem lehetnek nullák, és "x", "y" és "z" a háromdimenziós tengelyeket jelentik repülőgép. Három pont megadása esetén a keresztirányú szorzók segítségével meghatározhatja a síkot. A vektor egy vonal a térben. A kereszttermék két vektor szorzata.
Szerezd meg a három pontot a gépen. Címkézze fel őket "A", "B" és "C." Tegyük fel például, hogy ezek a pontok A = (3, 1, 1); B = (1, 4, 2); és C = (1, 3, 4).
Keressen két különböző vektort a síkon. A példában válassza az AB és az AC vektorokat. Az AB vektor az A pontról a B pontra, az AC vektor pedig az A pontról a C pontra megy. Tehát vonjuk ki az A pont minden egyes koordinátáját a B pont minden egyes koordinátájából, hogy megkapjuk az AB vektort: (-2, 3, 1). Hasonlóképpen, az AC vektor C pont mínusz A pont vagy (-2, 2, 3).
Számítsa ki a két vektor kereszttermékét, hogy új vektort kapjon, amely normális (vagy merőleges vagy ortogonális) mind a két vektorhoz, mind a síkhoz. Két vektor (a1, a2, a3) és (b1, b2, b3) kereszttermékét N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1) adja meg. A példában az AB és AC keresztterméke, N, i [(3 x 3) - (1 x 2)] + j [(1 x -2) - (-2 x 3)] + k [( -2 x 2) - (3x - 2)], ami N = 7i + 4j + 2k-ra egyszerűsödik. Ne feledje, hogy az „i”, „j” és „k” kifejezéseket a vektorkoordináták ábrázolására használják.
Vezesse le a sík egyenletét. A sík egyenlete Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0, ahol (a1, a2, a3) a sík bármely pontja és (Ni, Nj, Nk ) a normál vektor, N A példában a C pontot használva, amely (1, 3, 4), a sík egyenlete 7 (x - 1) + 4 (y - 3) + 2 (z - 4) = 0, ami egyszerűsödik 7x - 7 + 4y - 12 + 2z - 8 = 0, vagy 7x + 4y + 2z = 27.
Ellenőrizze a választ. Helyettesítse az eredeti pontokat, hogy lássa, megfelelnek-e a sík egyenletének. A példa befejezéséhez, ha a három pont bármelyikét felváltja, akkor látni fogja, hogy a sík egyenlete valóban teljesül.
Tippek
A Forrásokban talál tippeket arra vonatkozóan, hogyan lehet három szimultán egyenletből álló rendszereket használni egy sík egyenletének megtalálásához.
