Az abszolút értékbeli egyenlőtlenségek megoldása sokban hasonlít az abszolút értékegyenletek megoldására, de néhány további részletet figyelembe kell venni. Segít abban, hogy már kényelmesen megoldja az abszolút értékegyenleteket, de nem baj, ha azokat is együtt tanulod!
Az abszolút értékegyenlőtlenség meghatározása
Először is egyabszolút értékbeli egyenlőtlenségegy egyenlőtlenség, amely abszolút érték kifejezést foglal magában. Például,
| 5 + x | - 10> 6
abszolút érték-egyenlőtlenség, mert egyenlőtlenségi előjellel,> és abszolút érték-kifejezéssel rendelkezik, | 5 +x |.
Hogyan lehet megoldani az abszolút értékegyenlőtlenséget
Aaz abszolút értékbeli egyenlőtlenség megoldásának lépéseinagyban hasonlítanak az abszolút értékegyenlet megoldásának lépéseihez:
1. lépés:Szigetelje el az abszolút érték kifejezést az egyenlőtlenség egyik oldalán.
2. lépés:Oldja meg az egyenlőtlenség pozitív "változatát".
3. lépés:Oldja meg az egyenlőtlenség negatív "változatát" úgy, hogy az egyenlőtlenség másik oldalán lévő mennyiséget megszorozza −1-vel és megfordítja az egyenlőtlenségi jelet.
Ez sok mindent be kell hozni egyszerre, ezért íme egy példa, amely végigvezeti Önt a lépéseken.
Oldja meg az egyenlőtlenségetx:
| 5 + 5x | - 3> 2
Ehhez kapja meg a | 5 + 5x| önmagában az egyenlőtlenség bal oldalán. Csak annyit kell tennie, hogy mindegyik oldalhoz hozzáad 3-at:
| 5 + 5x | - 3 + 3> 2 + 3 \\ | 5 + 5x | > 5.
Az egyenlőtlenségnek két "változata" van, amelyet meg kell oldanunk: a pozitív "és a negatív" verziót.
Ennél a lépésnél feltételezzük, hogy a dolgok úgy vannak, ahogy látszanak: az 5 + 5x > 5.
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x> 5
Ez egyszerű egyenlőtlenség; csak meg kell oldaniaxmint általában. Mindkét oldalból vonjunk le 5-öt, majd osszuk el mindkét oldalt 5-tel.
\ begin {aligned} & 5 + 5x> 5 \\ & 5 + 5x - 5> 5 - 5 \ quad \ text {(mindkét oldalról vonj le ötöt)} \\ & 5x> 0 \\ & 5x (÷ 5)> 0 (÷ 5) \ quad \ text {(ossza fel mindkét oldalt ötre)} \\ & x> 0 \ end {igazítva}
Nem rossz! Tehát az egyenlőtlenségünk egyik lehetséges megoldása azx> 0. Mivel abszolút értékekről van szó, itt az ideje fontolóra venni egy másik lehetőséget.
Ennek a következő bitnek a megértése segít emlékezni arra, hogy mit jelent az abszolút érték.Abszolút értékméri egy szám nullától való távolságát. A távolság mindig pozitív, tehát a 9 kilenc egység távolságra van a nullától, de a −9 is kilenc egység a nullától.
Tehát | 9. | = 9, de | −9 | = 9 is.
Most térjünk vissza a fenti problémára. A fenti munka azt mutatta, hogy | 5 + 5x| > 5; más szavakkal, a "valaminek" abszolút értéke nagyobb, mint öt. Bármely ötnél nagyobb pozitív szám távolabb lesz a nullától, mint öt. Tehát az első lehetőség az volt, hogy "valami", 5 + 5x, nagyobb, mint 5.
Vagyis:
5 + 5x> 5
Ez a fenti forgatókönyv, a 2. lépésben.
Most gondolkodj egy kicsit tovább. Mi van még öt egység távolságra a nullától? Nos, a negatív öt az. És bármi, ami tovább halad a negatív öttől a számvonal mentén, még távolabb lesz a nullától. Tehát a "valamink" negatív szám lehet, amely távolabb van a nullától, mint negatív öt. Ez azt jelenti, hogy nagyobb hangzású szám lenne, de technikailagkevesebb, mintnegatív öt, mert negatív irányba mozog a számegyenesen.
Tehát a "valami", 5 + 5x, kisebb lehet −5.
5 + 5x
Ennek algebrai végrehajtásának gyors módja az, hogy az egyenlőtlenség másik oldalán lévő mennyiséget 5 megszorozzuk negatívummal, majd megfordítjuk az egyenlőtlenséget:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x
Ezután a szokásos módon oldja meg.
\ begin {aligned} & 5 + 5x
Tehát az egyenlőtlenség két lehetséges megoldása azx> 0 vagyx< −2. Ellenőrizze magát néhány lehetséges megoldás csatlakoztatásával, hogy megbizonyosodjon arról, hogy az egyenlőtlenség továbbra is igaz marad-e.
Abszolút értékegyenlőtlenségek, megoldások nélkül
Van egy forgatókönyv, ahol lennenincs megoldás az abszolút értékegyenlőtlenségre. Mivel az abszolút értékek mindig pozitívak, nem lehetnek egyenlőek vagy kisebbek, mint a negatív számok.
Tehát |x| nincs megoldásmert az abszolút érték kifejezésének pozitívnak kell lennie.
Intervallum jelölés
A fő példánkra a megoldás megírásaintervallum jelölés, gondold át, hogyan néz ki a megoldás a számegyenesen. Megoldásunk az voltx> 0 vagyx< −2. A számegyenesen ez egy 0-nál nyitott pont, egy pozitív végtelenig kinyúló vonallal, és a -2-nél nyitott pont, a negatív végtelenig terjedő vonallal. Ezek a megoldások egymástól, és nem egymás felé mutatnak, ezért vegye külön-külön az egyes darabokat.
Ha x> 0 a számegyenesen, akkor egy nyitott pont van a nullánál, majd a végtelenig kinyúló vonal. Az intervallum jelölésében egy nyitott pontot zárójelekkel () ábrázolunk, és egy zárt pont, vagy egyenlőtlenségek ≥ vagy ≤ esetén zárójeleket használnak, []. Ígyx> 0, írjon (0, ∞).
A másik fele,x
"Vagy" intervallumban az unió jel, sign.
Tehát a megoldás az intervallumok jelölésében az
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)