Rotációs mozgási energialeírja a tárgy forgásából vagy körmozgásából származó mozgás energiáját. Emlékezz errelineáris kinetikus energiatömegbőlmsebességgel haladvav1 / 2mv adja meg2. Ez egyenes számítás minden olyan objektum számára, amely egyenes vonalban mozog. Az objektum tömegközéppontjára vonatkozik, lehetővé téve az objektum ponttömegként való megközelítését.
Most, ha egy kiterjesztett, összetettebb mozgáson áteső objektum kinetikus energiáját akarjuk leírni, a számítás bonyolultabbá válik.
Egymást követő közelítéseket tehetnénk úgy, hogy a kiterjesztett objektumot apró darabokra bontjuk, amelyek mindegyike megközelíthető a-ként pont tömegét, majd kiszámolja az egyes ponttömegek lineáris kinetikus energiáját külön-külön, és mindegyiket összeadva megtalálja a tárgy. Minél kisebb mértékben bontjuk fel az objektumot, annál jobb a közelítés. Abban a határban, ahol a darabok végtelenné válnak, ezt meg lehet tenni számítással.
De szerencsénk van! Amikor a forgó mozgásról van szó, van egy egyszerűsítés. Forgó tárgy esetében, ha a forgástengely körüli tömegeloszlását a tehetetlenségi nyomatéka alapján írjuk le,
Tehetetlenségi nyomaték
Tehetetlenségi nyomatékannak mértéke, hogy egy objektum milyen nehéz megváltoztatni az adott tengely körüli mozgását. A forgó tárgy tehetetlenségi nyomatéka nemcsak a tárgy tömegétől függ, hanem attól is, hogy ez a tömeg hogyan oszlik el a forgástengely körül. Minél távolabb van a tömeg eloszlási tengelyétől, annál nehezebb megváltoztatni forgási mozgását, és így annál nagyobb a tehetetlenségi nyomaték.
A tehetetlenségi nyomaték SI egységei kgm2 (ami összhangban van azzal a felfogásunkkal, hogy a tömegtől és a forgástengelytől mért távolságtól függ). A különféle tárgyak tehetetlenségi mozzanatai megtalálhatók egy táblázatban vagy a számításban.
Tippek
Bármely objektum tehetetlenségi nyomatéka a számítás és a ponttömeg tehetetlenségi nyomatékának képletével megtalálható.
Rotációs kinetikai energiaegyenlet
A forgási kinetikus energia képletét a következők adják meg:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2
Holénaz objektum tehetetlenségi nyomatéka ésωaz objektum szögsebessége radián / másodpercben (rad / s). A forgási mozgási energia SI egysége a joule (J).
A forgási kinetikus energia képlete analóg a transzlációs kinetikus energia egyenletével; a tehetetlenségi momentum játszik szerepet a tömegben, és a szögsebesség helyettesíti a lineáris sebességet. Megjegyezzük, hogy a forgási kinetikus energiaegyenlet ugyanazt az eredményt adja egy ponttömegre, mint a lineáris egyenlet.
Ha ponttömeget képzelünk elmsugarú körben mozogrsebességgelv, akkor szögsebessége ω = v / r, tehetetlenségi nyomatéka pedig mr2. Mindkét kinetikus energiaegyenlet ugyanazt az eredményt adja, mint az várható volt:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (mr ^ 2) (v / r) ^ 2 = \ frac {1} {2} \ frac {m \ cancel {r ^ 2} v ^ 2} {\ cancel {r ^ 2}} = \ frac {1} {2} mv ^ 2 = KE_ {lin}
Ha egy tárgy egyszerre forog és tömegközéppontja egyenes vonal mentén mozog (mint például egy gördülő gumiabroncs esetében), akkor ateljes kinetikus energiaa forgási mozgási energia és a transzlációs kinetikus energiák összege:
KE_ {tot} = KE_ {rot} + KE_ {lin} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
Példák a forgási kinetikus energia képletének felhasználására
A forgási kinetikus energia képletének számos alkalmazása van. Fel lehet használni egy forgó tárgy egyszerű mozgási energiájának kiszámítására, és a kinetikus energia kiszámítására egy gördülő tárgy (egy tárgy, amely mind forgási, mind transzlációs mozgáson megy keresztül), és más számára megoldandó ismeretlenek. Tekintsük a következő három példát:
1. példa:A Föld körülbelül 24 óránként forog tengelye körül. Ha feltételezzük, hogy sűrűsége egyenletes, akkor mekkora a mozgási mozgási energiája? (A föld sugara 6,37 × 106 m, tömege 5,97 × 1024 kg.)
A forgási kinetikus energia megtalálásához először meg kell találnunk a tehetetlenségi pillanatot. A Földet mint szilárd gömböt közelítve a következőket kapjuk:
I = \ frac {2} {5} mr ^ 2 = \ frac {2} {5} (5.97 \ times10 ^ {24} \ text {kg}) (6.37 \ times10 ^ 6 \ text {m}) ^ 2 = 9,69 \ szer10 ^ {37} \ szöveg {kgm} ^ 2
A szögsebesség 2π radián / nap. Ennek konvertálása rad / s-ra:
2 \ pi \ frac {\ text {radians}} {\ cancel {\ text {day}}} \ frac {1 \ cancel {\ text {day}}} {86400 \ text {seconds}} = 7.27 \ times10 ^ {-5} \ text {rad / s}
Tehát a Föld forgási mozgási energiája ekkor:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (9,69 \ szer10 ^ {37} \ text {kgm} ^ 2) (7,27 \ szer10 ^ {- 5} \ text {rad / s}) ^ 2 = 2,56 \ szor 10 ^ {29} \ text {J}
Szórakoztató tény: Ez több mint a tízszerese annak a teljes energiának, amelyet a nap egy perc alatt lead!
2. példa:Egy egységes, 0,75 kg tömegű és 0,1 m sugarú henger gördül végig a padlón, állandó, 4 m / s sebességgel. Mi a kinetikus energiája?
A teljes kinetikus energiát a következők adják meg:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
Ebben az esetben I = 1/2 mr2 a szilárd henger tehetetlenségi nyomatéka, ésωösszefügg a lineáris sebességgel ω = v / r útján.
Az összes kinetikus energia kifejezésének egyszerűsítése és az értékek bekapcsolása a következőket adja:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} (\ frac {1} {2} mr ^ 2) (v / r) ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {1 } {4} mv ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {3} {4} mv ^ 2 \\ = \ frac {3} {4} (0,75 \ text {kg}) (4 \ text {m / s}) = 2,25 \ text {J}
Ne feledje, hogy még a sugárt sem kellett használnunk! A forgási sebesség és a lineáris sebesség közötti közvetlen kapcsolat miatt törölték.
3. példa:Egy biciklis diák egy dombtól lefelé indul a pihenéstől. Ha a hegy függőleges magassága 30 m, milyen gyorsan halad a diák a domb alján? Tegyük fel, hogy a kerékpár súlya 8 kg, a versenyző súlya 50 kg, minden kerék súlya 2,2 kg (a kerékpár súlya tartalmazza) és minden kerék átmérője 0,7 m. Becsülje meg a kerekeket karikaként, és feltételezze, hogy a súrlódás elhanyagolható.
Itt mechanikus energiamegtakarítást használhatunk a végsebesség megtalálásához. A domb tetején található potenciális energia alul kinetikus energiává alakul. Ez a mozgási energia a teljes személy + kerékpár rendszer transzlációs mozgási energiájának és a gumiabroncsok mozgási mozgási energiájának összege.
A rendszer teljes energiája:
E_ {tot} = PE_ {top} = mgh = (50 \ text {kg} + 8 \ text {kg}) (9,8 \ text {m / s} ^ 2) (30 \ text {m}) = 17,052 \ szöveges üzenet {J}
A teljes energia képlete a domb alján lévő kinetikus energiák tekintetében:
E_ {tot} = KE_ {bottom} = \ frac {1} {2} I_ {gumik} \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = \ frac {1} {2} (2 \ -szer m_ {gumiabroncs} \ -szer r_ {tire} ^ 2) (v / r_ {tire}) ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = m_ {tire} v ^ 2 + \ frac {1} { 2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = (m_ {gumiabroncs} + \ frac {1} {2} m_ {tot}) v ^ 2
Megoldásavad:
v = \ sqrt {\ frac {E_ {tot}} {m_ {tire} + \ frac {1} {2} m_ {tot}}}
Végül a számok csatlakoztatásával megkapjuk a választ:
v = \ sqrt {\ frac {17,052 \ text {J}} {2.2 \ text {kg} + \ frac {1} {2} 58 \ text {kg}}} = 23,4 \ text {m / s}
