Két skaláris mennyiség szorzata skalár, és egy vektorral ellátott skalár szorzata vektor, de mi a helyzet két vektor szorzatával? Skalár, vagy más vektor? A válasz az, hogy lehet akár!
Kétféle módon lehet vektorokat szaporítani. Az egyik a ponttermékük felvétele, amely skalárt eredményez, a másik pedig a kereszttermékük felvétele, amely egy másik vektort eredményez. Melyik terméket kell használni, az az adott forgatókönyvtől függ, és milyen mennyiséget próbál megtalálni.
Adot terméknéha askaláris szorzatvagybelső termék. Geometriai szempontból úgy gondolhatunk a két vektor közötti pontszorzatra, mint a vektorértékek szorzásának módjára, amely csak az azonos irányú hozzájárulásokat számolja.
- Megjegyzés: A ponttermékek lehetnek negatívak vagy pozitívak, de ez a jel nem jelzi az irányt. Habár egy dimenzióban a vektor irányát gyakran jel jelzi, a skaláris mennyiségekhez társulhatnak olyan jelek is, amelyek nem iránymutatók. Az adósság csak egy a sok közül erre.
A Dot termék meghatározása
A vektorok pontszorzata
a = (ax, ay)ésb = (bx, by)a standard derékszögű koordinátarendszerben a következőképpen van meghatározva:\ bold {a \ cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
Amikor egy vektor ponttermékét magával veszi, érdekes kapcsolat alakul ki:
\ bold {a \ cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = | \ bold {a} | ^ 2
Hol |a| a nagysága (hossza)aa Pitagorasz-tétel szerint.
Egy másik ponttermék képlet a koszinusz törvényének felhasználásával származtatható. Ez a következőképpen történik:
Tekintsük a nem nulla vektorokataésbkülönbségvektorukkal együtta - b. Rendezze el a három vektort egy háromszög kialakításához.
A trigonometriai koszinuszok törvénye azt mondja nekünk, hogy:
| \ bold {ab} | ^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta )
A dot termék definícióját felhasználva kapjuk:
| \ bold {ab} | ^ 2 = (\ bold {ab}) \ cdot (\ bold {ab}) = (a_x-b_X) ^ 2 + (a_y-b_y) ^ 2 \\ = (a_x) ^ 2 + (b_x) ^ 2 - 2a_xb_x + (a_y) ^ 2 + (b_y) ^ 2 - 2a_yb_y \\ = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 \ bold {a \ cdot b}
Mindkét kifejezést egyenlővé téve, majd egyszerűsítve a következőket kapjuk:
\ cancel {| \ bold {a} | ^ 2} + \ cancel {| \ bold {b} | ^ 2} - 2 \ bold {a \ cdot b} = \ Cancel {| \ bold {a} | ^ 2 } + \ Mégse {| \ félkövér {b} | ^ 2} - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ text {} \\\ implicit \ boxed {\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta)}
Ez a megfogalmazás lehetővé teszi a geometriai intuíciónk játékba lépését. A mennyiség |a| cos (θ) a vektor vetületének nagyságaavektorrab.
Tehát úgy gondolhatunk, hogy a dot szorzat az egyik vektor vetülete a másikra, majd az értékeik szorzata. Más szavakkal, az egyik vektor szorzatának tekinthető, a másik vektor mennyiségével ugyanabban az irányban, mint maga.
A Dot termék tulajdonságai
Az alábbiakban felsorolhatjuk a dot termék számos tulajdonságát, amelyek hasznosak lehetnek:
\ # \ szöveg {1. Ha} \ theta = 0 \ text {, akkor} \ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} |
Ennek oka, hogy cos (0) = 1.
\ # \ szöveg {2. Ha} \ theta = 180 \ text {, akkor} \ bold {a \ cdot b} = - | \ bold {a} || \ bold {b} |
Ennek oka, hogy cos (180) = -1.
\ # \ szöveg {3. Ha} \ theta = 90 \ text {, akkor} \ bold {a \ cdot b} = 0
Ennek oka, hogy cos (90) = 0.
- Megjegyzés: 0
θ
<90, a ponttermék pozitív lesz, és 90 esetén <
θ
<180, a pont szorzat negatív lesz.
\ # \ szöveg {4. } \ bold {a \ cdot b} = \ bold {b \ cdot a}
Ez abból következik, hogy a kommutatív törvényt alkalmazzuk a dot termék meghatározására.
\ # \ szöveg {5. } \ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
Bizonyíték:
\ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a} \ cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ = a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y) \\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y) \\ = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
\ # \ szöveg {6. } c (\ bold {a \ cdot b}) = (c \ bold {a}) \ cdot \ bold {b}
Bizonyíték:
c (\ bold {a \ cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y) \\ = ca_xb_x + ca_yb_y \\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y \\ = (c \ bold {a}) \ cdot \ félkövér {b}
Hogyan találjuk meg a Dot terméket
1. példa:A fizikában erővel végzett munkaFegy tárgyon, mivel elmozduld, azt jelenti:
W = \ bold {F} \ cdot \ bold {d} = | \ bold {F} || \ bold {d} | \ cos (\ theta)
Ahol θ az erővektor és az elmozdulásvektor közötti szög.
Az erő által elvégzett munka mennyisége jelzi, hogy ez az erő mennyiben járult hozzá az elmozduláshoz. Ha az erő ugyanabban az irányban van, mint az elmozdulás (cos (θ) = 0), akkor maximálisan hozzájárul. Ha merőleges az elmozdulásra (cos (Ѳ) = 90), egyáltalán nem járul hozzá. És ha ellentétes az elmozdulással, (cos (θ) = 180), akkor negatív hozzájárulást jelent.
Tegyük fel, hogy egy gyermek egy játékvonatot tol át a vágányon, 5 N erő alkalmazásával 25 fokos szögben a pálya vonalához képest. Mennyi munkát végez a gyermek a vonaton, amikor 0,5 m-rel elmozdítja?
Megoldás:
F = 5 \ szöveg {N} \\ d = 0,5 \ szöveg {m} \\ theta = 25 \ fok \\
A munka dot termékdefiníciójának felhasználásával és az értékek csatlakoztatásával a következőket kapjuk:
W = Fd \ cos (\ theta) = 5 \ alkalommal0,5 \ szor \ cos (25) = \ dobozos {2.27 \ text {J}}
Ebből a konkrét példából még egyértelműbbnek kell lennie, hogy az elmozdulás irányára merőleges erő alkalmazása nem működik. Ha a gyermek derékszögben tolta a vonatot a vágányhoz, akkor a vonat nem mozog sem előre, sem hátra a vágány mentén. Az is intuitív, hogy a gyermek által a vonaton végzett munka növekszik, ha a szög csökken, és az erő és az elmozdulás közelebb van az igazodáshoz.
2. példa:A teljesítmény egy másik példa egy fizikai mennyiségre, amely egy ponttermék segítségével kiszámítható. A fizikában a teljesítmény egyenlő az idővel elosztott munkával, de írható az erő és a sebesség pontszorzataként is, az alábbiak szerint:
P = \ frac {W} {t} = \ frac {\ bold {F \ cdot d}} {t} = \ bold {F} \ cdot \ frac {\ bold {d}} {t} = \ bold { F \ cdot v}
Holva sebesség.
Tekintsük az előző példát arról, hogy a gyermek játszik-e a vonattal. Ha ehelyett azt mondják nekünk, hogy ugyanazt az erőt alkalmazzák, aminek eredményeként a vonat 2 m / s sebességgel mozog a vágányon, akkor a pontterméket használhatjuk az erő megtalálásához:
P = \ bold {F \ cdot v} = Fv \ cos (\ theta) = 5 alkalommal2 \ alkalommal \ cos (25) = 9,06 \ text {Watts}
3. példa:Egy másik példa, ahol a fizikában ponttermékeket alkalmaznak, a mágneses fluxus. A mágneses fluxus az adott területen áthaladó mágneses tér mennyisége. A mágneses mező ponttermékeBa területtelA. (A területvektor irányaNormálvagy merőleges a terület felületére.)
\ Phi = \ bold {B \ cdot A}
Tegyük fel, hogy egy 0,02 Tesla mező áthalad egy 10 cm sugarú huzalhurmon, és a normálissal 30 fokos szöget zár be. Mi a fluxus?
\ Phi = \ bold {B \ cdot A} = BA \ cos (\ theta) = 0,02-szer (\ pi \ times0,1 ^ 2) \ times \ cos (30) = 0,000544 \ text {Wb}
Amikor ez a fluxus megváltozik, vagy a mező értékének megváltoztatásával, a hurok területének megváltoztatásával vagy a szöget a hurok vagy a mezõforrás elforgatásával, az áram indukálódik a hurokban, generálva elektromosság!
Ismét vegye figyelembe, hogy a szög intuitív módon releváns. Ha a szög 90 fokos lenne, ez azt jelentené, hogy a mező ugyanazon a síkon helyezkedik el, mint a terület, és egyetlen mezővonal sem haladna át a hurkon, ami fluxust nem eredményezne. A fluxus mennyisége ekkor növekszik, minél közelebb kerül a mező és a normál közötti szög 0-ra. A ponttermék lehetővé teszi számunkra annak meghatározását, hogy a mező mekkora része van a felszínre merőleges irányban, és ezáltal hozzájárul a fluxushoz.
Vektorvetítés és a ponttermék
Korábbi szakaszokban már említettük, hogy a dot szorzat úgy gondolható el, hogy az egyik vektort vetíti a másikra, majd megsokszorozza azok nagyságát. Mint ilyen, nem lehet meglepő, hogy a vektor-vetítés képlete levezethető a dot-szorzatból.
A vektor vetítéséhezavektorrab, vesszük aaval,-velegységvektorirányábab, majd ezt a skaláris eredményt megszorozzuk ugyanazzal az egységvektorral.
Az egységvektor egy 1 hosszúságú vektor, amely egy adott irányban fekszik. Az egységvektor a vektor irányábanbegyszerűen vektorbosztva a nagyságával:
\ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |}
Tehát ez a vetület ekkor:
\ text {Kivetítés} \ bold {a} \ text {rá} \ bold {b} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} \ Nagy) \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Nagy) \ félkövér {b}
A Dot termék nagyobb dimenzióban
Ahogy a vektorok magasabb dimenzióban léteznek, ugyanúgy a ponttermék is. Képzeljük el azt a példát, amikor a gyermek ismét tolja a vonatot. Tegyük fel, hogy lefelé és szögben tolja a pálya szélét. Normál koordináta-rendszerben az erő- és elmozdulási vektorokat háromdimenziós formában kellene megjeleníteni.
Ban bennméretek esetén a pontterméket a következőképpen határozzuk meg:
\ bold {a \ cdot b} = \ túlhalmaz {n} {\ alulhalmaz {i = 1} {\ sum}} a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +... + a_nb_n
A korábbiak ugyanazok a ponttermék-tulajdonságai továbbra is érvényesek, és a koszinuszok törvénye ismét megadja a kapcsolatot:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta)
Ahol az egyes vektorok nagyságát a következők segítségével találjuk meg, ismét összhangban a Pitagorasz-tételsel:
| \ bold {a} | = \ sqrt {\ bold {a \ cdot a}} = \ sqrt {(a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 +... + (a_n) ^ 2}
Hogyan találjuk meg a Dot terméket három dimenzióban
1. példa:A dot termék különösen akkor hasznos, ha meg kell találni a két vektor közötti szöget. Tegyük fel például, hogy meg akarjuk határozni a közötti szögeta= (2, 3, 2) ésb= (1, 4, 0). Még akkor is, ha ezt a két vektort három térben vázolja fel, nagyon nehéz lehet a fejét a geometria köré fonni. De a matematika meglehetősen egyszerű, felhasználva azt a tényt, hogy:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ implicit \ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ félkövér {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big)
Ezután kiszámítja aaésb:
\ bold {a \ cdot b} = 2 \ alkalommal1 + 3 \ alkalommal4 + 2 \ alkalommal0 = 14
És kiszámítja az egyes vektorok nagyságát:
| \ bold {a} | = \ sqrt {2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 2 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12 \\ | \ bold {b} | = \ sqrt {1 ^ 2 + 4 ^ 2 + 0 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12
És végül mindent bedugaszolva kapjuk:
\ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big) = \ cos ^ {- 1} \ Nagy (\ frac {14} {4,12 \ x 4.12} \ Nagy) = \ dobozos {34,4 \ fok}
2. példa:Egy pozitív töltés a koordinátaponton (3, 5, 4) ül a háromdimenziós térben. A vektor irányába mutató vonal mentén melyik pontona= (6, 9, 5) az elektromos tér a legnagyobb?
Megoldás: Tudomásunk szerint, hogy az elektromos térerősség hogyan viszonyul a távolsághoz, tudjuk, hogy a lényeg azon a vonalon, amely a legközelebb van a pozitív töltéshez, az a hely található, ahol a mező lesz legerősebb. A dot termékek ismerete alapján sejthetjük, hogy itt van értelme a vetítési képletnek. Ennek a képletnek meg kell adnia egy olyan vektort, amelynek csúcsa pontosan a keresett pontban van.
Számolnunk kell:
\ text {Projection of} (3, 5, 4) \ text {onto} \ bold {a} = \ Big ((3,5,4) \ cdot \ frac {\ bold {a}} {| \ bold { a} | ^ 2} \ Nagy) \ félkövér {a}
Ehhez először meg kell találni a |a|2:
| \ bold {a} | ^ 2 = 6 ^ 2 + 9 ^ 2 + 5 ^ 2 = 142
Ezután a dot termék:
(3,5,4) \ cdot (6,9,5) = 3 alkalommal6 + 5 \ alkalommal9 + 4 \ alkalommal5 = 83
Ennek elosztása |a|2 így 83/142 = 0,585. Ezután megszorozva ezt a skalártaad:
0,585 \ félkövér {a} = 0,585 \ szer (6,9,5) = (3.51,5,27,2,93)
Ezért van az a vonal mentén az a pont, ahol a mező a legerősebb (3.51, 5.27, 2.93).