Legyen szó egy jégkorcsolyázóról, aki a karjaiban húzza és gyorsabban forog, miközben egy macska ellenőrzi, hogy milyen gyorsan forog zuhanás közben, hogy biztosan talpra álljon, a tehetetlenségi pillanat koncepciója döntő fontosságú a rotációs mozgás.
Más néven rotációs tehetetlenség, a tehetetlenségi nyomaték a tömeg forgási analógja Newton mozgástörvényeinek második része, amely leírja az objektum hajlamát ellenállni a szöggyorsulásnak.
A koncepció elsőre talán nem tűnik túl érdekesnek, de a szög megőrzésének törvényével együtt lendületével számos lenyűgöző fizikai jelenség leírására használható, és a mozgás széles tartományában előre jelezhető helyzetek.
A tehetetlenségi pillanat meghatározása
Az objektum tehetetlenségi nyomatéka leírja a szöggyorsulással szembeni ellenállását, figyelembe véve a tömeg eloszlását a forgástengelye körül.
Lényegében számszerűsíti, mennyire nehéz megváltoztatni az objektum forgási sebességét, függetlenül attól, hogy ez elkezdi-e forgását, leállítását vagy egy már forgó tárgy sebességének megváltoztatását.
Időnként rotációs tehetetlenségnek hívják, és hasznos, ha Newton második törvényében a tömeg analógjaként gondolunk rá:Fháló = ma. Itt egy tárgy tömegét gyakran inerciális tömegnek nevezik, és leírja az objektum (lineáris) mozgással szembeni ellenállását. A rotációs tehetetlenség ugyanúgy működik a forgási mozgásnál, és a matematikai meghatározás mindig magában foglalja a tömeget.
A rotációs mozgás második törvényével egyenértékű kifejezés vonatkoziknyomaték (τ, az erő forgási analógja) a szöggyorsuláshozαés a tehetetlenség pillanataén:
\ tau = I \ alfa
Ugyanennek az objektumnak azonban több tehetetlenségi nyomatéka is lehet, mert bár a meghatározás nagy része a tömeg eloszlásáról szól, a forgástengely helyét is figyelembe veszi.
Például, miközben a középpontja körül forgó rúd tehetetlenségi nyomatéka azén = ML2/ 12 (aholMtömeges ésLa rúd hossza), ugyanazon a végén forgó rúd tehetetlenségi nyomatéka aén = ML2/3.
A tehetetlenségi pillanat egyenletei
Tehát egy test tehetetlenségi nyomatéka tömegétől függM, annak sugaraRés forgástengelye.
Egyes esetekben,Rnéven emlegetikd, a forgástengelytől való távolságra, és másokban (mint az előző szakasz rúdjánál) a hossza váltja fel,L. A szimbóluména tehetetlenségi nyomatékra használják, és kg m-es egységekkel rendelkezik2.
Amint az eddig tanultak alapján elvárható, a tehetetlenségi momentumnak sokféle egyenlete van, és mindegyik egy adott alakra és egy adott forgástengelyre utal. A tehetetlenség minden pillanatában a kifejezésÚR2 jelenik meg, bár a különböző alakzatoknál különböző törtek vannak a kifejezés előtt, és egyes esetekben több kifejezés is összefoglalható.
AÚR2 komponens a tehetetlenségi nyomaték egy távolságra eső ponttömeg számáraRa forgástengelytől, és egy adott merev test egyenlete ponttömegek összegeként vagy végtelen számú kis ponttömeg integrálásával épül fel a tárgyra.
Míg egyes esetekben hasznos lehet egy objektum tehetetlenségi pillanatának levezetése a ponttömegek egyszerű aritmetikai összege vagy integrálva, a gyakorlatban sok olyan eredmény van a közös alakzatok és forgástengelyek számára, amelyeket egyszerűen felhasználhat anélkül, hogy levezetnie kellene első:
Szilárd henger (szimmetria tengely):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Tömör henger (központi átmérőjű tengely, vagy a kör keresztmetszetének átmérője a henger közepén):
I = \ frac {1} {4} MR ^ 2 + \ frac {1} {12} ML ^ 2
Szilárd gömb (középtengely):
I = \ frac {2} {5} MR ^ 2
Vékony gömbhéj (központi tengely):
I = \ frac {2} {3} MR ^ 2
Hoop (szimmetria tengely, azaz merőlegesen a középponton keresztül):
I = MR ^ 2
Hoop (átmérő tengely, azaz a karika által alkotott kör átmérőjén):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Rúd (középtengely, merőleges a rúd hosszára):
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
Rúd (a vég körül forog):
I = \ frac {1} {3} ML ^ 2
Rotációs tehetetlenség és forgástengely
Annak megértése, hogy miért vannak különböző egyenletek az egyes forgástengelyekre, kulcsfontosságú lépés a tehetetlenségi pillanat fogalmának megragadásához.
Gondoljon egy ceruzára: elforgathatja úgy, hogy középen, a végén körbeforgatja, vagy a középtengelye köré csavarja. Mivel egy tárgy forgási tehetetlensége függ a tömeg eloszlásától a forgástengely körül, ezek a helyzetek mindegyike különböző, és annak leírására külön egyenlet szükséges.
Ösztönösen megértheti a tehetetlenségi pillanat fogalmát, ha ugyanezt az érvelést egy 30 méteres zászlóoszlopra méretezi.
Nagyon nehéz lenne végigpörgetni a végét - ha egyáltalán kezelhetné -, miközben a pólust a tengelye körül forgatni sokkal könnyebb lenne. Ennek oka, hogy a forgatónyomaték erősen függ a forgástengelytől mért távolságtól és a 30 láb távolságtól példa a zászlóoszlopra, ha a vége a vége felé pörög, akkor minden szélső vége 15 lábra van a tengelyétől forgás.
Ha azonban a központi tengely körül forgatja, akkor minden egészen közel van a tengelyhez. A helyzet nagyjából olyan, mint egy nehéz tárgy karnyújtásnyi távolságban való hordozása vs. a testéhez szorosan tartva, vagy a végétől fogva egy kart működtetve vs. közel a támaszponthoz.
Ezért van szükség egy másik egyenletre, amely leírja az ugyanazon objektum tehetetlenségi nyomatékát a forgástengelytől függően. A választott tengely befolyásolja, hogy a test egyes részei milyen távol vannak a forgástengelytől, annak ellenére, hogy a test tömege ugyanaz marad.
A tehetetlenségi pillanat egyenleteinek használata
A merev test tehetetlenségi pillanatának kiszámításának kulcsa a megfelelő egyenletek használatának és alkalmazásának megtanulása.
Vegyük figyelembe az előző szakasz ceruzáját, amelynek hosszában végig van forgatva egy központi pont körül. Bár ez nem atökéletesrúd (a hegyes csúcsa például megtöri ezt az alakot) modellezhető, hogy megtakarítson egy teljes tehetetlenségi nyomatékot az objektumra.
Tehát az objektumot rúdként modellezve a következő egyenlettel keresse meg a tehetetlenségi pillanatot, a ceruza teljes tömegével és hosszával kombinálva:
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
Nagyobb kihívás az összetett tárgyak tehetetlenségi pillanatának megtalálása.
Vegyünk például két rúddal összekapcsolt gömböt (amelyet a probléma leegyszerűsítése érdekében tömegtelennek tekintünk). Az első gömb 2 kg, és 2 m-re helyezkedik el a forgástengelytől, a második gömb tömege 5 kg és 3 m-re van a forgástengelytől.
Ebben az esetben megtalálja ennek az összetett objektumnak a tehetetlenségi pillanatát, ha minden labdát ponttömegnek tekint, és az alapdefiníció alapján dolgozza fel, hogy:
\ begin {aligned} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 + m_3r_3 ^ 2…. \\ & = \ sum _ {\ mathclap {i}} m_ir_i ^ 2 \ end {aligned}
Az előfizetők egyszerűen megkülönböztetik a különböző tárgyakat (azaz az 1. és a 2. labdát). A kétgolyós tárgynak ekkor lenne:
\ begin {aligned} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 \\ & = 2 \; \ text {kg} × (2 \; \ text {m}) ^ 2 + 5 \; \ text {kg} × (3 \; \ text {m}) ^ 2 \\ & = 8 \; \ text {kg m} ^ 2 + 45 \; \ text {kg m} ^ 2 \\ & = 53 \; \ text {kg m} ^ 2 \ vége {igazítva}
Tehetetlenségi pillanat és a szögletes lendület megőrzése
A szögimpulzus (a lineáris impulzus forgási analógja) a forgásteljesítmény (azaz a tehetetlenségi nyomaték, aén) az objektum és szögsebességeω), amelyet fok / s vagy rad / s értékben mérnek.
Kétségtelenül ismeri a lineáris impulzus megőrzésének törvényét, és a szögimpulzus is ugyanígy konzerválódik. A szögimpulzus egyenleteL):
L = Iω
Azon gondolkodni, hogy ez mit jelent a gyakorlatban, sok fizikai jelenséget megmagyaráz, mert (más erők hiányában), annál nagyobb az objektum forgási tehetetlensége, annál kisebb a szögsebessége.
Vegyünk egy jégkorcsolyázót, aki állandó szögsebességgel forog kinyújtott karokkal, és vegye figyelembe, hogy kinyújtott karjai megnövelik a sugaratRamelyről a tömege eloszlik, ami nagyobb tehetetlenségi momentumhoz vezet, mintha a karjai közel lennének a testéhez.
HaL1 kinyújtott karokkal számol, ésL2, miután a karját behúzta, azonos értékűnek kell lennie (mivel a szögimpulzus konzervált), mi történik, ha a karjaiba húzva csökkenti a tehetetlenségi momentumot? Szögsebességeωkompenzáció céljából növekszik.
A macskák hasonló mozdulatokat hajtanak végre, hogy eleséskor a lábukra érjenek.
A lábak és a farok kinyújtásával növelik tehetetlenségi nyomatékukat és csökkentik forgásuk sebességét, és ellenkezőleg, behúzhatják a lábukat, hogy csökkentse a tehetetlenségi nyomatékot és növeljék a forgás sebességét. Ezt a két stratégiát - a „kiegyenlítő reflexük” egyéb aspektusaival együtt - azért használják, hogy biztosítsák a lábuk leereszkedését először, és láthatja a göndörítés és a nyújtás különálló fázisait a macska időintervallumú fényképein leszállás.
A tehetetlenség és a forgási kinetikus energia pillanata
Folytatva a párhuzamot a lineáris mozgás és a forgási mozgás között, az objektumoknak ugyanúgy van rotációs mozgási energiája, mint lineáris kinetikus energiájuknak.
Gondoljon a földön gördülő golyóra, amely mind a középtengelye körül forog, mind pedig lineárisan halad előre: A labda teljes kinetikus energiája a lineáris kinetikus energiájának összegeEk és annak forgási kinetikus energiájaErothadás. A két energia közötti párhuzamosságot tükrözik mindkettő egyenletei, emlékezve arra, hogy egy tárgyé a tehetetlenségi nyomaték a tömeg forgási analógja, szögsebessége a lineáris forgási analógja sebességv):
E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2
E_ {rot} = \ frac {1} {2} Iω ^ 2
Jól látható, hogy mindkét egyenletnek pontosan ugyanaz a formája, a megfelelő forgási analógokkal helyettesítve a forgási kinetikai energiaegyenletet.
Természetesen a forgási mozgási energia kiszámításához ki kell cserélnie az objektum tehetetlenségi pillanatának megfelelő kifejezését aén. Figyelembe véve a labdát, és az objektumot mint szilárd gömböt modellezve, az egyenlet ebben az esetben a következő:
\ begin {aligned} E_ {rot} & = \ bigg (\ frac {2} {5} MR ^ 2 \ bigg) \ frac {1} {2} ω ^ 2 \\ & = \ frac {1} {5 } MR ^ 2 ω ^ 2 \ vége {igazítva}
A teljes kinetikus energia (Etot) ennek és a labda mozgási energiájának az összege, így írhatod:
\ begin {aligned} E_ {tot} & = E_k + E_ {rot} \\ & = \ frac {1} {2} Mv ^ 2 + \ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \ end { igazítva}
1 kg-os, 2 m / s lineáris sebességgel mozgó, 0,3 m sugarú és 2π rad / s szögsebességgel mozgó golyó esetében a teljes energia a következő lenne:
\ begin {aligned} E_ {tot} & = \ frac {1} {2} 1 \; \ text {kg} × (2 \; \ text {m / s}) ^ 2 + \ frac {1} {5 } (1 \; \ text {kg} × (0,3 \; \ text {m}) ^ 2 × (2π \; \ text {rad / s}) ^ 2) \\ & = 2 \; \ text {J} + 0.71 \; \ text {J} \\ & = 2,71 \; \ text {J} \ end {igazítva}
A helyzettől függően egy tárgynak csak lineáris kinetikus energiája lehet (például egy golyó, amelyről leesett olyan magasság, amelyre nincs spin adva) vagy csak forgási mozgási energia (egy gömb forog, de a helyén marad).
Ne feledje, hogy azteljesmegőrzött energia. Ha egy labdát kezdeti elfordulás nélkül rúgnak a falra, és alacsonyabb sebességgel, de adott forgatással visszapattan, valamint az energia elveszíti a hang és a hő, amikor érintkezik, a kezdeti mozgási energia egy része átkerül a forgási kinetikus energiába, és ígynem lehetesetleg olyan gyorsan mozog, mint a visszapattanás előtt.