A funkciók integrálása a számítás egyik alapvető alkalmazása. Néha ez egyértelmű, mint például:
F (x) = \ int (x ^ 3 + 8) dx
Az ilyen típusú viszonylag bonyolult példában az alapképlet egyik változatát használhatja a határozatlan integrálok integrálásához:
\ int (x ^ n + A) dx = \ frac {x ^ {(n + 1)}} {n + 1} + Ax + C
holAésCállandók.
Így ebben a példában
\ int x ^ 3 + 8 = \ frac {x ^ 4} {4} + 8x + C
Alap négyzetgyök függvények integrálása
A felszínen a négyzetgyök függvény integrálása kényelmetlen. Például az alábbiak lehetnek:
F (x) = \ int \ sqrt {(x ^ 3) + 2x - 7} dx
De kifejezhetsz négyzetgyököt kitevősként, 1/2:
\ sqrt {x ^ 3} = x ^ {3 (1/2)} = x ^ {(3/2)}
Az integrál tehát:
\ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx
amelyre fentről a szokásos képletet alkalmazhatja:
\ begin {igazítva} \ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx & = \ frac {x ^ {(5/2)}} {5/2} + 2 \ bigg (\ frac {x ^ 2} {2} \ bigg) - 7x \\ & = \ frac {2} {5} x ^ {(5/2)} + x ^ 2 - 7x \ end {igazítva}
Összetettebb négyzetgyök függvények integrálása
Néha előfordulhat, hogy egynél több kifejezés van a radikális jel alatt, mint ebben a példában:
F (x) = \ int \ frac {x + 1} {\ sqrt {x - 3}} dx
Te tudod használniu-helyettesítés a folytatáshoz. Itt állítod beuegyenlő a nevezőben szereplő mennyiséggel:
u = \ sqrt {x - 3}
Oldja meg ezt axmindkét oldal négyzetre osztásával és kivonásával:
u ^ 2 = x - 3 \\ x = u ^ 2 + 3
Ez lehetővé teszi a dx megszerzését auszármazékának felvételévelx:
dx = (2u) du
Ha visszahelyezzük az eredeti integrálba, megkapjuk
\ begin {aligned} F (x) & = \ int \ frac {u ^ 2 + 3 + 1} {u} (2u) du \\ & = \ int \ frac {2u ^ 3 + 6u + 2u} {u } du \\ & = \ int (2u ^ 2 + 8) du \ end {igazítva}
Most ezt integrálhatja az alapképlet és az expressz használatávaluszempontjábólx:
\ begin {aligned} \ int (2u ^ 2 + 8) du & = \ frac {2} {3} u ^ 3 + 8u + C \\ & = \ frac {2} {3} (\ sqrt {x - 3}) ^ 3 + 8 (\ sqrt {x - 3}) + C \\ & = \ frac {2} {3} (x - 3) ^ {(3/2)} + 8 (x - 3) ^ {(1/2)} + C \ vége {igazítva}