A trigonometria meglehetősen elvont témának érezheti magát. Az olyan arcán kifejezések, mint a „bűn” és a „cos”, a jelek szerint nem felelnek meg semminek a valóságban, és nehéz megérteni őket fogalmakként. Az egységkör ebben jelentős segítséget nyújt, egyenes magyarázatot kínálva arra, hogy milyen számokat kapunk, amikor a szinusz, koszinusz vagy egy szög érintőjét vesszük. Bármely természettudományos vagy matematikai hallgató számára az egységkör megértése valóban megerősítheti a trigonometria és a függvények használatának megértését.
TL; DR (túl hosszú; Nem olvastam)
Az egység kör sugara egy. Képzeljen el egyxyennek a körnek a közepétől kezdődő koordináta-rendszer. A pontszögeket onnan mérjükx= 1 ésy= 0, a kör jobb oldalán. A szögek nőnek, ahogy az óramutató járásával ellentétes irányba mozog.
Ennek a keretrendszernek a használata, ésyay-koordinátája ésxax-pontja a körön:
bűnθ = y
kötözősalátaθ = x
Következésképpen:
Cserθ = y / x
Mi az egység kör?
Az „egység” kör sugara 1. Más szavakkal, a kör közepétől az él bármely részéhez való távolság mindig 1. A mértékegység nem igazán számít, mert az egység körben az a legfontosabb, hogy sok egyenletet és számítást sokkal egyszerűbbé tegyen.
Hasznos alapul szolgál a szögek definícióinak megtekintéséhez is. Képzelje el, hogy a kör közepe egy koordinátarendszer közepén helyezkedik elx-tengelyek vízszintesen futnak és ay-függőlegesen futó tengelyek. A kör keresztezi ax-tengelyx = 1, y= 0. A tudósok és a matematikusok meghatározzák a szöget attól a ponttól, amely az óramutató járásával ellentétes irányba mozog. Tehát a lényegx =1, y= 0 a körön 0 ° -os szögben van.
A Sin és a Cos meghatározása az egység körrel
A hallgatóknak a bűn, a cos és a tan szokásos meghatározása háromszögekre vonatkozik. Megállapítják:
\ sin θ = \ frac {\ text {szemben}} {\ text {hipotenusz}} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {szomszédos}} {\ text {hipotenusz}} \\ \, \\ \ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
Az „ellentét” a szöggel szemközti háromszög oldalának hosszára, a „szomszédos” a a szög melletti oldal hossza és a „hipotenusz” a szög átlós oldalának hosszára utal háromszög.
Képzeljük el, hogy létrehozunk egy háromszöget úgy, hogy a hipotenusz mindig az egység kör sugara legyen, az egyik sarok a kör szélén, egy pedig a közepén legyen. Ez azt jelenti, hogy a fenti egyenletekben a hipotenusz = 1, tehát az első kettő:
\ sin θ = \ frac {\ text {szemben}} {1} = \ text {szemben} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {szomszédos}} {1} = \ text {szomszédos} \\
Ha a kérdéses szöget a kör középpontjába állítja, akkor az ellenkezője éppen azy-koordináta és a szomszédos csak azxa háromszöget érintő kör azon pontjának koordinátája. Más szavakkal, a bűn adja vissza ay-koordináta az egység körön (a középpontból induló koordinátákat használva) egy adott szögre, és cos visszaadja ax-koordináta. Ezért cos (0) = 1 és sin (0) = 0, mert ezen a ponton ezek a koordináták. Hasonlóképpen, cos (90) = 0 és sin (90) = 1, mert ez a pontx= 0 ésy= 1. Egyenlet formájában:
\ sin θ = y \\ \ cos θ = x
A negatív szögeket ez alapján is könnyű megérteni. A negatív szögek (a kiindulási ponttól az óramutató járásával megegyező irányban mérve) megegyeznekxkoordinátája a megfelelő pozitív szög, tehát:
\ cos -θ = \ cos θ
Azonban ay-koordinátás kapcsolók, ami azt jelenti
\ sin -θ = - \ bűn θ
A tan meghatározása az egység körrel
A barnának a fenti meghatározása a következő:
\ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
De a bűn és a cos egységkör-meghatározásaival láthatja, hogy ez egyenértékű:
\ tan θ = \ frac {\ text {szemben}} {\ text {szomszédos}}
Vagy koordinátákban gondolkodva:
\ tan θ = \ frac {y} {x}
Ez megmagyarázza, hogy a barnulás miért nincs meghatározva 90 ° vagy -270 ° és 270 ° vagy −90 ° esetén (aholx= 0), mert nem lehet osztani nullával.
Trigonometrikus függvények ábrázolása
A bűn vagy cos ábrázolása könnyebbé válik, ha az egységkörre gondolunk. Ax-koordináta zökkenőmentesen változik, amikor körbe mozog, kezdve 1-től és 180 ° -on minimum -1-ig csökken, majd ugyanúgy növekszik. A bűn funkció ugyanazt csinálja, de először 90 ° -on 1-re nő, mielőtt ugyanazt a mintát követné. A két funkció állítólag 90 ° -on kívül esik a „fázishoz”.
A barnulás ábrázolása megosztást igényelyáltalx, és így bonyolultabb a grafikon, és vannak olyan pontjai is, ahol nincs meghatározva.