A szinusz és a koszinusz fogalmak elsajátítása a trigonometria szerves része. De miután ezeket az ötleteket az öved alatt tartják, a trigonometria és később a számítás egyéb hasznos eszközeinek építőkövei lesznek. Például a "koszinusztörvény" egy speciális képlet, amellyel megtalálhatja a háromszög hiányzó oldalát, ha tudja a másik két oldal hossza plusz a közöttük lévő szög, vagy hogy megtalálja a háromszög szögeit, ha ismeri mind a hármat oldalán.
A koszinuszok törvénye
A koszinusztörvény többféle változatban jelenik meg, attól függően, hogy a háromszög melyik szögeivel vagy oldalaival van dolga:
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A) \\ b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 - 2ac × \ cos (B) \\ c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab × \ cos (C)
Minden egyes esetben,a, béscegy háromszög oldalai, ésA, B, vagyCugyanazon betű oldalával szemközti szög. ÍgyAa szemközti oldal szögea, Ba szemközti oldal szögeb, ésCa szemközti oldal szögec. Ez az egyenlet formája, amelyet akkor használ, ha megtalálja a háromszög egyik oldalának hosszát.
A koszinusztörvény olyan verziókban is átírható, amelyek megkönnyítik a háromszög három szögének bármelyikét, feltéve, hogy ismeri a háromszög mindhárom oldalának hosszát:
cos (A) = \ frac {b ^ 2 + c ^ 2 - a ^ 2} {2bc} \\ \, \\ cos (B) = \ frac {c ^ 2 + a ^ 2 - b ^ 2} { 2ac} \\ \, \\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Oldalsó megoldás
Ahhoz, hogy a koszinusz törvényét felhasználja a háromszög oldalának megoldására, három információra van szüksége: a háromszög másik két oldalának hossza, valamint a közöttük lévő szög. Válassza ki a képlet verzióját, ahol a keresett oldal az egyenlet bal oldalán található, és a már meglévő információk a jobb oldalon vannak. Tehát ha meg akarja találni az oldal hosszáta, használná a verziót
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A)
Helyettesítse a képletbe a két ismert oldal értékét és a közöttük lévő szöget. Ha háromszögének ismert oldalai vannakbéscamelyek 5 egységet és 6 egységet mérnek, és a köztük lévő szög 60 fokot mér (ami radiánban kifejezhető π / 3-ként is), akkor:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × \ cos (60)
Táblázat vagy számológép segítségével keresse meg a koszinusz értékét; ebben az esetben cos (60) = 0,5, megadva az egyenletet:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × 0,5
Egyszerűsítse a 2. lépés eredményét. Ez megadja:
a ^ 2 = 25 + 36-30
Ami viszont leegyszerűsíti:
a ^ 2 = 31
Vegyük mindkét oldal négyzetgyökét a megoldás befejezéséheza. Így marad:
a = \ sqrt {31}
Míg diagram vagy számológép segítségével becsülheti meg a √31 értékét (5,568), gyakran megengedik - sőt ösztönözhetjük -, hogy a választ pontosabb radikális formában hagyja.
Megoldás egy szögért
Ugyanezt a folyamatot alkalmazhatja a háromszög bármelyik szögének megtalálásához, ha ismeri mindhárom oldalát. Ezúttal a képlet azon verzióját választja, amely a hiányzó vagy a "nem tudom" szöget az egyenlőség bal oldalára helyezi. Képzelje el, hogy meg akarja találni a C szög mértékét (amelyet emlékezetünkben a szemközti szögként határozunk megc). A képlet ezen verzióját használná:
\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Helyezze be az ismert értékeket - ebben a típusú problémában ez a háromszög mindhárom oldalának hosszát jelenti - az egyenletbe. Példaként a háromszög oldalai legyeneka= 3 egység,b= 4 egység ésc= 25 egység. Tehát az egyenlete:
\ cos (C) = \ frac {3 ^ 2 + 4 ^ 2 - 5 ^ 2} {2 × 3 × 4}
Miután egyszerűsítette a kapott egyenletet, megkapja:
\ cos (C) = \ frac {0} {24}
vagy egyszerűen cos (C) = 0.
Számítsa ki a inverz koszinust vagy az ív koszinust 0-ra, amelyet gyakran cos-nak jelölnek-1(0). Vagy más szavakkal: melyik szög koszinusa 0? Valójában két szög adja vissza ezt az értéket: 90 fok és 270 fok. De definíciója szerint tudja, hogy egy háromszög minden szögének kisebbnek kell lennie, mint 180 fok, így opcióként csak 90 fok marad.
Tehát hiányzó szögének mértéke 90 fok, ami azt jelenti, hogy történetesen derékszögű háromszöggel van dolgunk, bár ez a módszer nem derékszögű háromszögekkel is működik.