Amikor "egy számot hatványra emel", akkor önmagában megszorozza a számot, és a "hatvány" azt jelzi, hogy hányszor teszi ezt meg. Tehát 2 a 3. hatványra emelve megegyezik 2 x 2 x 2 értékkel, ami egyenlő 8-zal. Amikor azonban egy számot töredékre emel, akkor az ellenkező irányba halad - megpróbálja megtalálni a szám "gyökerét".
Terminológia
A szám hatalommá emelésének matematikai kifejezése a "hatványozás". Az exponenciális kifejezésnek két része van: az alap, amely az a szám, amelyet emelsz, és a kitevő, amely a "hatalom". Tehát amikor 2-et emel a 3. hatványra, akkor az alap 2 és a kitevő az 3. Az alap felemelését a 2. hatványra általában az alap négyzetezésének nevezzük, míg a 3. hatványra emelését az alap kockáztatásának nevezzük. A matematikusok általában exponenciális kifejezéseket írnak felső indexben, vagyis kis számként az alap jobb felső sarkába. Mivel néhány számítógép, számológép és más eszköz nem nagyon kezeli a felső indexet, az exponenciális kifejezéseket is általában így írják: 2 ^ 3. A felirat - a felfelé mutató szimbólum - azt mondja, hogy az alábbiakban a kitevő szerepel.
Gyökerek
A matematikában a "gyökerek" kissé hasonlítanak a fordított hatványokra. Vegyük például a "2-től a 4. hatványig" rövidítést: 2 ^ 4. Ez egyenlő 2 x 2 x 2 x 2 vagy 16-mal. Mivel 2 önmagával négyszeresen megszorozva 16-tal egyenlő, a 16 "4. gyöke" 2. Most nézze meg a 729-es számot. Ez 9 x 9 x 9-re bomlik - tehát a 9 a 729 3. gyökere. 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3-ra is lebomlik - tehát a 3 a 729-es 6. gyökere. A szám 2. gyökét általában a négyzetgyök, és a 3. gyökér az köbgyök.
Töredékes kitevők
Ha az exponens töredéke, akkor az alap gyökerét keresi. A gyökér megfelel a tört nevezőjének. Vegyük például a következőt: "125 az 1/3 teljesítményre emelve" vagy a 125 ^ 1/3. A tört nevezője 3, ezért a 125-ös harmadik gyökerét (vagy kocka gyökerét) keresi. Mivel 5 x 5 x 5 = 125, a 125 3. gyöke 5. Így 125 ^ 1/3 = 5. Most próbálkozzon a 256 ^ 1/4 paranccsal. A 256 4. gyökerét keresi. Mivel 4 x 4 x 4 x 4 = 256, a válasz 4.
Számlálók, kivéve 1
A töredékes kitevői Az eddig tárgyalt - 1/3 és 1/4 - mindegyiknek 1 volt a számlálója. Ha a számláló más, mint 1, akkor az exponens két műveletet hajt végre: gyökér megtalálásával és hatalommá emeléssel. Vegyük például a 8 ^ 2/3 értéket. A "3" nevező azt mondja, hogy kocka gyökeret keres; a "2" számláló azt mondja neked, hogy a 2. fokozatra fogsz emelni. Nem számít, melyik műveletet hajtja végre először. Mindkét esetben ugyanazt az eredményt kapja. Tehát el lehet kezdeni úgy, hogy átveszi a 8-as harmadik gyökerét, amely 2, majd ezt emeli a 2. hatványra, ami 4-et adna. Vagy el lehet kezdeni azzal, hogy a 8-at a 2. hatványra emeljük, ami egyenlő a 64-gyel, majd megkapjuk ennek a számnak a 3. gyökerét, ami 4. Ugyanez az eredmény.
Egyetemes szabály
Valójában a "számláló, mint hatvány, a nevező gyökérként" szabály minden kitevőre érvényes - akár egész számú, mind 1-es számlálóval rendelkező tört kitevőkre. Például a teljes 2-es szám egyenértékű a 2/1 törtével. Tehát a 9 ^ 2 exponenciális kifejezés "valóban" 9 ^ 2/1. Ha 9-et emel a 2. hatalomra, akkor 81-et kap. Most meg kell szereznie a 81-es "1. gyökerét". De bármely szám 1. gyöke maga a szám, tehát a válasz 81 marad. Most nézzük meg a 9 ^ 1/2 kifejezést. Kezdheti azzal, hogy 9-et emel az "1. hatalomra". De az 1. hatványra emelt bármely szám maga a szám. Tehát csak annyit kell tennie, hogy megkapja a 9 négyzetgyökét, amely 3. A szabály továbbra is érvényes, de ezekben a helyzetekben kihagyhat egy lépést.