Csakúgy, mint az algebrában, a trigonometria tanulásakor felhalmozódnak a képletek, amelyek hasznosak a problémamegoldáshoz. Az egyik ilyen készlet a félszögű azonosságok, amelyeket két célra használhat fel. Az egyik a () trigonometrikus függvényeinek konvertálásaθ/ 2) funkciókba az ismertebb (és könnyebben manipulálható) szempontok szerintθ. A másik az, hogy megtaláljuk a trigonometrikus függvények tényleges értékétθ, mikorθegy ismertebb szög feleként fejezhető ki.
A félszögű azonosságok áttekintése
Sok matematikai tankönyv négy elsődleges félszög-azonosságot sorol fel. De az algebra és a trigonometria keverékének alkalmazásával ezeket az egyenleteket számos hasznos formába lehet masszírozni. Nem feltétlenül kell ezeket mind megjegyeznie (hacsak a tanár nem ragaszkodik hozzá), de legalább meg kell értenie, hogyan kell használni őket:
Félszögű azonosság a szinuszhoz
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Félszögű identitás koszinuszra
\ cos \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {2}}
Félszögű identitások tangenshez
\ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {1 + \ cosθ}} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 + \ cosθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 - \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ - \ cotθ
Félszögű azonosságok a kotangensnél
\ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {1 - \ cosθ}} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 - \ cosθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 + \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ + \ cotθ
Példa a félszögű azonosságok használatára
Tehát hogyan használja a félszögű azonosságokat? Az első lépés annak felismerése, hogy olyan szöggel van dolgod, amely fele ismertebb szög.
- I. negyed: minden trig funkció
- II. Negyed: csak szinusz és koszekáns
- III. Negyed: csak érintő és kotangens
- IV. Negyed: csak koszinusz és szekáns
képzelje el, hogy megkéri, hogy keresse meg a szög szinuszát 15 fokkal. Ez nem egy olyan szög, amely a legtöbb hallgató számára megjegyzi a trig függvények értékeit. De ha hagyja, hogy a 15 fok egyenlő legyen θ / 2-vel, majd megoldja a θ értéket, akkor ezt tapasztalja:
\ frac {θ} {2} = 15 \\ θ = 30
Mivel a kapott θ, 30 fok, ismertebb szög, a félszög képletének használata itt hasznos lehet.
Mivel megkérték, hogy keresse meg a szinuszt, valójában csak egy félszög képlet közül választhat:
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Helyettesítésθ/ 2 = 15 fok ésθ= 30 fok megadja:
\ sin (15) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Ha arra kérték, hogy keresse meg az érintőt vagy a kotangentust, amelyek mindkét félig megsokszorozzák a félszögű identitásuk kifejezésének módját, egyszerűen azt a verziót kell választani, amelyik a legkönnyebben működőképesnek tűnt.
A ± előjel néhány félszög-azonosság elején azt jelenti, hogy a kérdéses gyök lehet pozitív vagy negatív. Ezt a kétértelműséget feloldhatja a trigonometrikus függvények ismeretében kvadránsokban. Itt van egy gyors áttekintés arról, hogy a trig funkciók visszatérnek-epozitívkvadránsok:
Mivel ebben az esetben a angle szöge 30 fokot képvisel, amely az I. kvadránsba esik, tudja, hogy az általa visszaadott szinuszérték pozitív lesz. Így eldobhatja a ± jelet, és egyszerűen kiértékelheti:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Helyettesítse a cos (30) ismert, ismert értékét. Ebben az esetben használja a pontos értékeket (szemben a diagram tizedesértékeivel):
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ sqrt {3/2}} {2}}
Ezután egyszerűsítse egyenletének jobb oldalát, hogy megtalálja a bűn értékét (15). Kezdje úgy, hogy megszorozza a gyök alatt lévő kifejezést 2/2-vel, ami:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 (1 - \ sqrt {3/2})} {4}}
Ez leegyszerűsíti:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 - \ sqrt {3}} {4}}
Ezután kiszámíthatja a négyzet négyzetgyökét:
\ sin (15) = \ frac {1} {2} \ sqrt {2 - \ sqrt {3}}
A legtöbb esetben ez kb. Annyi, amennyit leegyszerűsít. Bár az eredmény nem biztos, hogy rettenetesen szép, az ismeretlen szög szinuszát pontosan lefordítottad.