A számok közül a legnagyobb közös tényező (GCF) megtalálása sok esetben hasznos a matematikában, de különösen a törtek egyszerűsítésével kapcsolatban. Ha ezzel küzd vagy közös nevezőket talál, a közös tényezők megtalálásához két módszer megtanulása segít elérni azt, amire vállalkozik. Először mégis jó ötlet megismerni a tényezők alapjait; akkor két megközelítést tekinthet meg a közös tényezők megtalálásához. Végül megvizsgálhatja, hogyan alkalmazhatja tudását a töredék egyszerűsítésére.
Mi a tényező?
A tényezők azok a számok, amelyeket összeszorozva egy másik számot állít elő. Például a 2 és 3 a 6 tényezője, mert 2 × 3 = 6. Hasonlóképpen, 3 és 3 9-es tényező, mert 3 × 3 = 9. Mint tudhatja, a prímszámok olyan számok, amelyeknek önmagukon és 1-n kívül nincs más tényezőjük. Tehát a 3 egy prímszám, mert csak az a két egész szám (egész szám), amely összeszorozódva 3-at adhat válaszként, 3 és 1. Ugyanígy a 7 prímszám, és a 13 is.
Emiatt gyakran hasznos egy számot „fő tényezőkre” bontani. Ez azt jelenti, hogy megtaláljuk egy másik szám összes prímszámtényezőjét. A számot alapvetően alapvető „építőköveire” bontja, ami hasznos lépés afelé a két szám legnagyobb közös tényezőjének megtalálása, és felbecsülhetetlen a négyzet egyszerűsítésével kapcsolatban is gyökerei.
A legnagyobb közös tényező megtalálása: Első módszer
A legegyszerűbb módszer a két szám legnagyobb közös tényezőjének megtalálásához az, ha egyszerűen felsoroljuk az egyes számok összes tényezőjét, és megkeressük a legmagasabb számot, amely mindkettőjükön osztozik. Képzelje el, hogy a legmagasabb közös tényezőt szeretné megtalálni: 45 és 60. Először nézze meg azokat a különböző számokat, amelyeket összeszorozhat, és így 45-t kaphat.
A legegyszerűbb úgy kezdeni, ha kettővel tudsz működni, még egy prímszám esetében is. Ebben az esetben tudjuk, hogy 1 × 45 = 45, tehát tudjuk, hogy 1 és 45 a 45 tényezője. Ez az első és az utolsó tényező a 45-ben, így onnan töltheti ki. Ezután derítse ki, hogy a 2 tényező-e. Ez könnyű, mert bármely páros szám osztható 2-vel, és minden páratlan szám nem. Tehát tudjuk, hogy a 2 nem 45-ös tényező. Mi van a 3-mal? Képesnek kell lennie arra, hogy észrevegye, hogy a 3 a 45-ös tényező, mert a 3 × 15 = 45 (mindig arra építhet, amire képes tudja például, hogy ezt megoldja, akkor tudni fogja, hogy 3 × 12 = 36, és ehhez hármas hozzáadása vezet 45).
Ezután a 4 45-ös tényező? Nem - tudod, hogy 11 × 4 = 44, tehát nem lehet! Ezután mi lesz 5-tel? Ez egy másik egyszerű, mert bármely 0-ra vagy 5-re végződő szám osztható 5-tel. És ezzel könnyen észreveheti, hogy 5 × 9 = 45. De a 6 nem jó, mert 7 × 6 = 42 és 8 × 6 = 48. Ebből azt is láthatja, hogy a 7 és a 8 nem 45-ös tényező. Már tudjuk, hogy 9 az, és könnyen belátható, hogy a 10 és a 11 nem tényezők. Folytassa ezt a folyamatot, és észreveszi, hogy a 15 tényező, de semmi más nem.
Tehát a 45-ös tényezők: 1, 3, 5, 9, 15 és 45.
60 év alatt pontosan ugyanazt a folyamatot futtatja le. Ezúttal a szám páros (tehát tudod, hogy a 2 egy tényező) és osztható 10-gyel (tehát mind az 5, mind a 10 tényező), ami kissé megkönnyíti a dolgokat. Miután újra végigvette a folyamatot, látnia kell, hogy a 60-as tényezők a következők: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 és 60.
A két lista összehasonlítása azt mutatja, hogy a 15 a 45 és 60 legnagyobb közös tényező. Ez a módszer időigényes lehet, de egyszerű és mindig működni fog. Bármelyik magas közös tényezőnél indulhat, amelyet azonnal észlelhet, majd egyszerűen keresse az egyes számok magasabb tényezőit.
A legnagyobb közös tényező megtalálása: Második módszer
A GCF két szám megtalálásának második módszere a prímtényezők használata. Az elsődleges faktorizálás folyamata kissé könnyebb és strukturáltabb, mint minden tényező megtalálása. Menjünk végig a 42-es és 63-as folyamaton.
Az elsődleges faktorálás folyamata alapvetően magában foglalja a szám lebontását, amíg csak a prímszámok nem maradnak meg. A legjobb, ha a legkisebb fővel (kettővel) kezdjük, és onnan dolgozunk. Tehát 42-nél könnyen belátható, hogy 2 × 21 = 42. Akkor dolgozzon 21-től: A 2 tényező? Nem. Van 3? Igen! 3 × 7 = 21, és 3 és 7 egyaránt prímszám. Ez azt jelenti, hogy a 42 elsődleges tényezője 2, 3 és 7. Az első „szünet” során 2-t használtak 21-re, a másodikban ezt 3-ra és 7-re bontották. Ezt úgy ellenőrizheti, hogy összesíti az összes tényezőt, és meggyőződik arról, hogy megkapja az eredeti számot: 2 × 3 × 7 = 42.
A 63 esetében a 2 nem tényező, de a 3 igen, mert 3 × 21 = 63. Ismét 21 bomlik 3-ra és 7-re - mindkettő elsődleges -, így tudja a fő tényezőket! Az ellenőrzés azt mutatja, hogy 3 × 3 × 7 = 63, szükség szerint.
Megtalálja a legmagasabb közös tényezőt, ha megvizsgálja, hogy a két szám mely prímtényezőkben van közös. Ebben az esetben 42-ben 2, 3 és 7, 63-ban pedig 3, 3 és 7 van. 3 és 7 közös bennük. A legmagasabb közös tényező megtalálásához szorozza össze az összes közös elsődleges tényezőt. Ebben az esetben 3 × 7 = 21, tehát 21 a 42 és 63 legnagyobb közös tényezője.
Az előző példa így is gyorsabban megoldható. Mivel a 45 osztható hárommal (3 × 15 = 45), és a 15 szintén osztható hárommal (3 × 5 = 15), a 45 elsődleges tényezői 3, 3 és 5. 60 esetén ez osztható kettővel (2 × 30 = 60), 30 osztható kettővel is (2 × 15 = 30), és akkor marad 15, amiről tudjuk, hogy három és öt fő tényező, 2, 2, 3 és 5 elhagyása. A két felsorolást összehasonlítva a három és az öt a közös elsődleges tényező, így a legnagyobb közös tényező a 3 × 5 = 15.
Abban az esetben, ha három vagy több közös elsődleges tényező létezik, akkor ezeket mind együtt kell megszorozni, hogy megtalálja a legnagyobb közös tényezőt.
A törtek egyszerűsítése közös tényezőkkel
Ha olyan törvet mutat be, mint a 32/96, akkor az utána következő számításokat nagyon bonyolulttá teheti, hacsak nem talál rá módot a tört egyszerűsítésére. Megtalálva a legkisebb közös tényezőt, a 32-et és a 96-ot, megmondja azt a számot, amellyel el kell osztani mindkettőt, így egyszerűbb frakciót kapunk. Ebben az esetben:
32 = 2 × 16 \\ 16 = 2 × 2 × 2 × 2 \\ \ text {So} 32 = 2 ^ 5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
96 esetében a folyamat a következőket adja meg:
96 = 48 × 2 \\ 48 = 24 × 2 \\ 24 = 12 × 2 \\ 12 = 6 × 2 \\ 6 = 3 × 2 \\ \ text {So} 96 = 2 ^ 5 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
Világosnak kell lennie, hogy 25 = 32 a legmagasabb közös tényező. Ha a frakció mindkét részét elosztjuk 32-vel, akkor:
\ frac {32} {96} = \ frac {1} {3}
A közös nevezők megtalálása hasonló folyamat. Képzelje el, hogy hozzá kellett adnia a 15/45 és a 40/60 frakciókat. Az első példából tudjuk, hogy a 15 a legmagasabb közös tényező, 45 és 60, ezért azonnal kifejezhetjük őket 5/15 és 10/15 értékekkel. Mivel 3 × 5 = 15, és mindkét számláló is osztható ötrel, mindkét frakció mindkét részét ötre oszthatjuk, így 1/3 és 2/3 arányt kapunk. Most sokkal könnyebb ezeket hozzáadni és látni
\ frac {15} {45} + \ frac {40} {60} = 1