Elgondolkodtál már azon, hogy hogyan kapcsolódnak egymáshoz a trigonometrikus funkciók, mint a szinusz és a koszinusz? Mindkettőt használják az oldalak és a szögek háromszögekben történő kiszámítására, de a kapcsolat ennél tovább megy.Együttműködési azonosságokadjon meg konkrét képleteket, amelyek megmutatják, hogyan lehet átalakítani a szinusz és a koszinusz, az érintő és a kotangens, valamint a szekáns és a koszekáns között.
TL; DR (túl hosszú; Nem olvastam)
A szög szinusa megegyezik komplementjének koszinuszával és fordítva. Ez igaz a többi funkcióra is.
Egy egyszerű mód arra, hogy emlékezzen arra, hogy mely funkciók együtt működnek, az az, hogy két trig függvény aztársfunkciókha egyikük előtt a "co-" előtag található. Így:
- szinusz éstársszinuszoktársfunkciókat.
- érintő éstársérintők vannaktársfunkciókat.
- szekáns éstársszekánsoktársfunkciókat.
A definíció segítségével előre és hátra számíthatunk a kofunkciók között: A szög függvényének értéke megegyezik a komplement függvényének értékével.
Ez bonyolultnak hangzik, de ahelyett, hogy általában egy függvény értékéről beszélnénk, használjunk egy konkrét példát. A
szinuszegy szög egyenlő akoszinuszkiegészítésének. Ugyanez vonatkozik más kofunkciókra is: A szög érintője megegyezik kiegészítésének kotangensével.Ne feledje: Két szög vankiegészítiha összeadják a 90 fokot.
Együttműködési azonosságok fokban:
(Vegye figyelembe, hogy 90 ° -xszög kiegészítést ad nekünk.)
\ sin (x) = \ cos (90 ° - x) \\ \ cos (x) = \ sin (90 ° - x) \\ \ tan (x) = \ 'kiságy (90 ° - x) \\ \ kiságy (x) = tan (90 ° - x) \\ sec (x) = \ csc (90 ° - x) \\ \ csc (x) = \ sec (90 ° - x)
Kofunkciós azonosságok radiánokban
Ne feledje, hogy a dolgokat is kifejezhetjükradiánok, amely a szögek mérésére szolgáló SI egység. Kilencven fok megegyezik a π / 2 radiánnal, így a kofunkciós azonosságokat is így írhatjuk:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ tan (x) = \ cot \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cot (x) = \ tan \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ sec (x) = \ csc \ bigg (\ frac { π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ csc (x) = \ sec \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Cofunction Identities Proof
Mindez szépen hangzik, de hogyan tudjuk bebizonyítani, hogy ez igaz? Ha kipróbálod magad néhány példa háromszögön, segíthet abban, hogy magabiztosnak érezd magad, de van egy szigorúbb algebrai bizonyíték is. Bizonyítsuk be a szinusz és a koszinusz együttfunkciós azonosságait. Radiánban fogunk dolgozni, de ez ugyanaz, mint a fokozatot használni.
Bizonyíték:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Először is nyúljon vissza emlékezetében ehhez a képlethez, mert bizonyításunkban ezt fogjuk használni:
\ cos (A - B) = \ cos (A) \ cos (B) + \ sin (A) \ sin (B)
Megvan? RENDBEN. Most bizonyítsuk be: bűn (x) = cos (π / 2 - x).
Átírhatjuk cos (π / 2 -x) mint ez:
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) + \ sin \ bigg (\ frac {π } {2} \ bigg) \ sin (x) \\ \, \\ \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = 0 × \ cos (x) + 1 × \ sin ( x)
mert tudjuk
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {és} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Így
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) = \ sin (x)
Ta-da! Most bizonyítsuk koszinussal!
Bizonyíték:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Újabb robbanás a múltból: Emlékszik erre a képletre?
\ sin (A - B) = \ sin (A) \ cos (B) - \ cos (A) \ sin (B)
Mindjárt használni fogjuk. Most bizonyítsuk be:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Átírhatjuk a bűnt (π / 2 -x) mint ez:
\ begin {igazítva} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) & = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) - \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ sin (x) \\ & = 1 × \ cos (x) - 0 × \ sin (x) \ end {igazítva}
mert tudjuk
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {és} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Tehát megkapjuk
\ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos (x)
Cofunction Calculator
Próbáljon ki néhány példát a saját működésével. De ha elakad, a Math Celebrity rendelkezik egy kofunkciós számológéppel, amely lépésről lépésre mutatja a kofunkciós problémák megoldását.
Boldog számítást!