A valós világban a körök mindenhol megtalálhatók, ezért sugáruk, átmérőjük és kerületük a valós életben jelentős. Vannak azonban a körök más részei is - például szektorok és szögek -, amelyek szintén fontosak a mindennapi alkalmazásokban. Ilyenek például a körkörös ételek, például sütemények és torták szektormérete, az óriáskerékkel megtett szög, - a gumiabroncs méretének meghatározása egy adott járműre, és különösen a gyűrű méretezése a kapcsoláshoz, - esküvő. Ezen és még sok más okból kifolyólag a geometriának is vannak egyenletei és problémaszámításai, amelyek a kör központi szögeivel, íveivel és szektoraival foglalkoznak.
Mi a középső szög?
A középső szöget úgy definiáljuk, mint azt a szöget, amelyet két kör vagy sugár hoz létre egy kör közepéből sugározva, a kör középpontja pedig a központi szög csúcsa. A központi szögek különösen relevánsak, ha a pizzát vagy bármely más körkörös ételt egyenletesen osztanak szét meghatározott számú ember között. Tegyük fel, hogy öt ember van egy vendéglőben, ahol egy nagy pizzát és egy nagy süteményt kell megosztani. Milyen szögben kell elosztani mind a pizzát, mind a tortát, hogy mindenki számára egyenlő szeletet biztosítsunk? Mivel egy körben 360 fok van, a számítás 360 fokosra oszlik 5-tel, hogy 72 fokos legyen, úgy, hogy mindegyik szeletnek, legyen szó pizzáról vagy süteményről, középső szöge vagy theta (θ) legyen, amelynek mérete 72 fok.
A középső szög meghatározása az ívhosszból
A kör íve a kör kerületének „egy részére” utal. Az ívhossz tehát ennek a „résznek” a hossza. Ha elképzel egy pizzaszeletet, akkor az ágazati terület lehet a teljes pizza szeletként jelenítjük meg, de az ívhossz a kéreg külső peremének hossza adott szelet. Az ívhossz alapján kiszámítható a központi szög. Valójában az egyik képlet, amely segíthet a központi szög meghatározásában, kijelenti, hogy az ívhossz (ok) megegyezik a sugár és a középső szög szorzatával,
s = r × θ
ahol a szöget, a thétát radiánban kell mérni. Tehát a theta központi szögének megoldásához csak az ívhosszat kell elosztani a sugárral, ill
\ frac {s} {r} = θ
Például, ha az ívhossz 5,9, a sugár pedig 3,5329, akkor a középső szög 1,67 radián lesz. Egy másik példa, ha az ívhossz 2 és a sugár 2, akkor a középső szög 1 radián lesz. Ha a radiánokat fokra akarja konvertálni, ne feledje, hogy 1 radián egyenlő 180 fok osztva π-vel, vagyis 57,2958 fokkal. Ellenben, ha egy egyenlet arra kéri, hogy a fokokat konvertálja vissza radiánokká, akkor először szorozza meg π-vel, majd ossza el 180 fokkal.
A középső szög meghatározása az ágazati területről
Egy másik hasznos képletet a középső szög meghatározásához az ágazati terület szolgáltat, amely ismét pizza szeletként jeleníthető meg. Ez a képlet kétféleképpen tekinthető meg. Az elsőnél a középső szöget fokokban mérjük, így a szektor területe megegyezik a π szorzatával sugár-négyzet, majd megszorozva a középső szög fokban kifejezett mennyiségével osztva 360-mal fok. Más szavakkal:
πr ^ 2 × \ frac {\ text {középső szög fokban}} {360 \ text {fok}} = \ text {szektorterület}
Ha a középső szöget radiánban mérjük, akkor a képlet helyett:
\ text {szektor terület} = r ^ 2 × \ frac {\ text {középső szög radiánban}} {2}
A képletek átrendezése segít megoldani a középső szög vagy a téta értékét. Tekintsünk egy 52,3 négyzetcentiméteres szektorterületet, amelynek sugara 10 centiméter. Mi lenne a középső szöge fokban? A számítások azzal kezdődnének, hogy az 52,3 négyzetcentiméteres szektorterület egyenlő:
\ frac {θ} {360 \ text {fok}} × πr ^ 2
Mivel a sugár (r) egyenlő 10-vel, a teljes egyenlet a következőképpen írható fel:
\ frac {52,3} {100π} × 360
hogy a theta a következőképpen írható legyen:
\ frac {52,3} {314} × 360
Így a végső válasz 60 fokos központi szöggé válik.