Amint elkezdi a trigonometria és a számítás elvégzését, olyan kifejezésekbe ütközhet, mint a bűn (2θ), ahol megkérjük, hogy találja meg az értékétθ. Ha kísérleteket és hibákat játszik a táblázatokkal vagy a számológéppel a válasz megtalálásához, az elhúzódó rémálomtól a teljesen lehetetlenné válhat. Szerencsére a kettős szögű identitások segítenek. Összetett képletnek nevezett különleges példányok ezek, amelyek megszakítják a formák (A + B) vagy (A – B) az igazságosság funkcióiraAésB.
A kettős szögű azonosságok a szinuszhoz
Három kettős szögű azonosság létezik, egy-egy a szinusz, a koszinusz és az érintő függvényekre. De a szinusz és a koszinusz identitás többféleképpen írható. Itt van a kétféle szögű azonosság megadásának két módja a szinuszfüggvényhez:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ \\ \ sin (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 + \ tan ^ 2θ}
A kettős szögű identitások koszinuszra
A kettős szögű identitás koszinuszra való írásának még több módja van:
\ cos (2θ) = \ cos ^ 2θ - \ sin ^ 2θ \\ \ cos (2θ) = 2 \ cos ^ 2θ - 1 \\ \ cos (2θ) = 1 - 2 \ sin ^ 2θ \\ \ cos ( 2θ) = \ frac {1 - \ tan ^ 2θ} {1 + \ tan ^ 2θ}
A tangens kettős szögű identitása
Irgalmas módon csak egy módon lehet megírni a kettős szögű azonosságot az érintő függvény számára:
\ tan (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 - \ tan ^ 2θ}
Kettős szögű identitások használata
Képzelje el, hogy egy derékszögű háromszög előtt áll, ahol ismeri az oldalak hosszát, de nem a szögeinek mértékét. Megkérték, hogy találjon megθ, holθa háromszög egyik szöge. Ha a háromszög hipotenuszának értéke 10 egység, akkor a szögével szomszédos oldal 6 egységet mér és a szöggel szemközti oldal 8 egységet mér, nem számít, hogy nem ismeri a mértékétθ; felhasználhatja a szinusz és koszinusz ismereteit, valamint a kettős szögű képletek egyikét a válasz megtalálásához.
Miután kiválasztott egy szöget, meghatározhatja a szinuszot, mint a szemközti oldal arányát a hipotenusz felett, és a koszinust, mint a szomszédos oldal arányát a hipotenusz felett. Tehát az imént megadott példában:
\ sinθ = \ frac {8} {10} \\ \, \\ \ cosθ = \ frac {6} {10}
Ezt a két kifejezést azért találja meg, mert ezek a legfontosabb építőkövei a dupla szögű képleteknek.
Mivel nagyon sok kettős szögű képlet közül lehet választani, kiválaszthatja azt, amelyik könnyebben kiszámítható és visszaadja a szükséges információk típusát. Ebben az esetben, mert ismered a bűntθés cosθmár egyértelmű, hogy a legkényelmesebb kifejezés a következő:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ
Már ismeri a sinθ és cosθ értékeit, ezért helyettesítse azokat az egyenletbe:
\ sin (2θ) = 2 × \ frac {8} {10} × \ frac {6} {10}
Miután leegyszerűsítette a következőket:
\ sin (2θ) = \ frac {96} {100}
A legtöbb trigonometrikus diagramot tizedesjegyekkel adjuk meg, ezért a következőt dolgozzuk fel a tört által képviselt osztással, hogy tizedesre alakítsuk. Most megvan:
\ sin (2θ) = 0,96
Végül keresse meg a 0,96 inverz szinuszt vagy arczint, amelyet bűnnek írnak −1(0.96). Vagy más szavakkal, a számológépével vagy egy diagram segítségével közelítse meg azt a szöget, amelynek szinusa 0,96. Mint kiderült, ez majdnem pontosan megegyezik 73,7 fokkal. Tehát 2θ= 73,7 fok.
Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 2-vel. Ez megadja:
θ = 36,85 \ szöveg {fok}