Hogyan magyarázzuk meg a különböző típusú igazolásokat a geometriában

Nézz szembe vele: A bizonyítás nem könnyű. A geometriában pedig úgy tűnik, hogy a dolgok romlanak, mivel most a képeket logikai állításokká kell alakítani, egyszerű rajzok alapján következtetéseket levonva. Az iskolában tanult különféle igazolások eleinte elsöprőek lehetnek. De miután megértette az egyes típusokat, sokkal könnyebben be tudja tekerni a fejét, hogy mikor és miért használja a különböző típusú igazításokat a geometriában.

A közvetlen bizonyítás nyílként működik. A megadott információkkal kezdi és azokra építve halad a bizonyítani kívánt hipotézis irányába. A közvetlen bizonyítás használatakor következtetéseket, geometriai szabályokat, geometriai alakzatok definícióit és matematikai logikát alkalmaz. A közvetlen bizonyítás a legáltalánosabb bizonyítási típus, és sok hallgató számára a go-to proof stílus a geometriai probléma megoldására. Például, ha tudja, hogy a C pont az AB egyenes középpontja, akkor bebizonyíthatja, hogy AC = CB a középpont meghatározásának felhasználásával: Az a pont, amely egyenlő távolságra esik a vonal mindkét végétől szegmens. Ez ledolgozza a középpont meghatározását, és közvetlen bizonyítéknak számít.

A közvetett bizonyítás olyan, mint egy bumeráng; ez lehetővé teszi a probléma megfordítását. Ahelyett, hogy csak a megadott állítások és alakzatok mellett dolgozna, megváltoztatja a problémát azzal, hogy felveszi a bizonyítani kívánt állítást, és feltételezi, hogy nem igaz. Innentől kezdve megmutatja, hogy ez valószínűleg nem lehet igaz, ami elegendő annak igazolására. Bár zavarónak tűnik, egyszerűsíteni képes sok bizonyítást, amelyet közvetlen bizonyítással nehéznek bizonyítanak. Például képzelje el, hogy van egy vízszintes AC vonala, amely áthalad a B ponton, és a B pont egy olyan vonal, amely merőleges az AC-re a D végponttal, az úgynevezett BD egyenes. Ha be akarja bizonyítani, hogy az ABD szög mértéke 90 fok, akkor kezdje el megfontolni, hogy mit jelentene, ha az ABD szöge nem lenne 90 fok. Ez két lehetetlen következtetéshez vezetne: az AC és a BD nem merőlegesek, az AC pedig nem egyenes. De mindkettő tény volt a problémában, ami ellentmondásos. Ez elegendő annak bizonyítására, hogy az ABD 90 fok.

Néha találkozik olyan problémával, amely arra kéri, hogy bizonyítsa be, hogy valami nem igaz. Ilyen esetben az indítópad segítségével robbanthatja ki magát attól, hogy közvetlenül foglalkoznia kell a problémával, ehelyett ellenpéldát adhat annak bemutatására, hogy valami nem igaz. Ha ellenpéldát használ, akkor csak egy jó ellenpéldára van szüksége az állítás igazolásához, és a bizonyíték érvényes lesz. Például, ha érvényesítenie vagy érvénytelenítenie kell az „Az összes trapéz szimmetrikus oldalú” állítást, akkor csak egy példát kell megadnia egy trapézra, amely nem paralelogramma. Ezt úgy teheti meg, hogy csak két párhuzamos oldalú trapézot rajzol. Az imént rajzolt alak létezése megcáfolná az állítást: „Minden trapéz paralelogramma.”

Ahogy a geometria vizuális matematika, a folyamatábra vagy az áramlásbiztos vizuális bizonyítási típus. Az áramlásbiztosításban azzal kezdi, hogy az összes ismert információt felírja vagy egymás mellé rajzolja. Innentől kezdve következtetéseket kell megtenni, az alábbi sorra írva. Ennek során „egymásra rakod” az adataidat, olyasmit készítve, mint egy fejjel lefelé piramis. A szükséges információkat arra használja fel, hogy további következtetéseket vonjon le az alábbi vonalakon, amíg az aljára nem kerül, egyetlen állítás bizonyítja a problémát. Például lehet egy L vonala, amely keresztezi az MN egyenes P pontját, és a kérdés arra kéri, hogy igazolja MP = PN, mivel L felezi az MN-t. Kezdhetné úgy, hogy megírja a megadott információkat, a tetejére pedig az „L kettéosztja az MN-t P-ben” feliratot. Alatta írja a megadott információkból következő információkat: A metszetek egy vonal két egybevágó szakaszát eredményezik. Írjon e kijelentés mellé egy geometriai tényt, amely segít eljutni a bizonyításig; ehhez a problémához segít az a tény, hogy az egybevágó vonalszakaszok hossza egyenlő. Írja meg. E két információ alá megírhatja a következtetést, amely természetesen következik: MP = PN.