Boldog Pi napot! A Pi becslésének 3 egyszerű módja

Március 14. (3/14) a Pi-nap (nem beszélve Albert Einstein születésnapjáról), és olyan fontos esemény lett, hogy az Egyesült Államok képviselőháza 2009-ben hivatalosan is elismerte.

Sokféleképpen ünnepelheti az alkalmat, a legkönnyebbtől és a legszórakoztatóbbtól (tényleges pite sütése, a tetején jó π szimbólummal a jó mérés érdekében) a matematikai és érdekesig. Itt a Sciencingnél fogunk soha visszatartja a pite készítésétől, de még sok más egyedi tevékenységet élvezhet sütés közben, vagy miután elfogyasztott egy-két szeletet.

Noha az emberek több mint 4000 éve tudnak a pi-ről, a matematikusok történelmileg az egyik fő feladat a végtelenül hosszú tizedesjegyek jobb és jobb közelítése volt. Természetesen soha nem jut el a 31-be billió a jelenleg ismert számjegyek, de néhány egyedi módszerrel meglehetősen szoros közelítést kaphat a híres számhoz.

Ez a megközelítés praktikusabb, mint a listán szereplő többi, ezért szükséged lesz iránytűre és ceruzára, papírdarabra vagy kártyára, vonalzóra, ollóra és szögmérőre. Először rajzoljon egy kört a kártyadarabjára, és győződjön meg róla, hogy ismeri a sugarat. Ezután ossza fel a kört 12 egyenlő szektorra (például pizza szeletekre), és válasszon egyet ezekből, hogy ismét két egyenlő részre oszoljon, és így összesen 13 szektort kapjon.

Vágja ki a kört, és vágja ki az ágazatokat. Rendezze át a szektorokat téglalap alakúra úgy, hogy a kisebb szektorok egyenes széle is legyen rövid éle, és egy darab vékony vége szépen hasított a két szomszédos ívelt vége közé darabok. A téglalap magassága a kör sugara, szélessége pedig az eredeti kör kerületének fele.

Mivel a kerület = 2 × π × sugár, ezért:

És meg tudja becsülni a pi-t:

Tehát csak annyit kell tennie, hogy megmérje a téglalap hosszú oldalát, és elosztja a sugárral, hogy megközelítse a pi értékét.

Archimédész egyszerű, de hatékony módszerrel közelítette meg a pi értékét, lényegében egy kört két poligonnal körülvéve, az egyik éppen a kör belsejében, a másik pedig a kör vonalán kívül. A kör kerületének ennek a két sokszögnek a kerülete között kell lennie, és ez alapján ki lehet dolgozni. A közelítés egyre jobb és jobb, ha több oldalt ad hozzá a sokszögekhez (lásd például a forrásokat).

A két módszer egyikével ezt megteheti magának. A legegyszerűbb: megrajzolhatja magának a sokszögeket, és vagy trigonometria segítségével megtalálja, vagy szó szerint megmérheti a kerületet, majd ossza meg az eredményt 2_r_ (azaz a kör sugarának 2-szeresével), hogy megtalálja a pi határait (a belső forma adja a minimumot, a külső pedig a maximális.

Alternatív megoldásként használjon egyszerű képletet, amelynek alapja egy 1 átmérőjű kör (azaz r = 1/2):

Hol θ a szög az alakzat egyik háromszög alakú szakaszának középpontjában, és n az oldalak száma. Tehát, ha 20 oldalú sokszöget használ, egyszerűen megtalálja a 360 ° -ot (egy teljes kört) 20-ra θ.

Az egyik legzseniálisabb módszer a pi becsléséhez Buffon tűjének hívják, amelyet Georges-Louis Leclerc francia filozófusról, Comte de Buffonról neveztek el, aki felfedezte a megközelítést. Szerezzen be egy darab papírt, és rajzoljon rá egyforma távolságra lévő párhuzamos vonalakat, köztük olyan távolsággal, amelyet felhívunk d, majd dobjon le sok botot a papírra. Ennek a megközelítésnek a kulcsa a hosszú botok használata l ez kisebb, mint a vonalak közötti távolság, ezért ha gyufaszálakat használ, akkor győződjön meg arról, hogy a vonalakat többre választja el, mint egy gyufaszál.

A pi értékét az alábbiak alapján becsülheti meg:

hol l és d a fentiekben meghatározottak, s a papírra dobott botok teljes száma, és c a vonalat átlépő botok száma. Ez statisztikai megközelítés a válasz megtalálására, tehát minél több botot dob ​​le, annál jobb becslést kap. Ez valójában a Monte Carlo szimuláció egyik formája a pi értékének megtalálásához.

Ha ez sok munkának tűnik (és takarításnak számít!), Van egy online verzió, amellyel szimulálhatja a kísérletet (lásd: Források).