Mivel a sarkon van a Super Bowl, a világ sportolóinak és rajongóinak a hangsúlya szilárdan a nagy játékra irányul. De a _math_ sportolók számára a nagy játék felidézhet egy kis problémát a futballmeccs lehetséges pontszámaival kapcsolatban. Mivel csak korlátozott lehetőségek vannak a megszerezhető pontok mennyiségére, egyes összegeket egyszerűen nem lehet elérni, de mi a legmagasabb? Ha meg akarja tudni, hogy mi kapcsolja össze az érméket, a futballt és a McDonald's csirkecombokat, ez problémát jelent Önnek.
A Super Bowl matematikai probléma
A probléma magában foglalja a Los Angeles Rams vagy a New England Patriots lehetséges eredményeit vasárnap nélkül biztonsági vagy kétpontos átalakítás. Más szavakkal, a pontszámuk növelésének megengedett módjai a 3 pontos mezőnygólok és a 7 pontos érintések. Tehát biztonság nélkül nem lehet 2 pontot elérni egy játékban 3 és 7 kombinációjával. Hasonlóképpen, akkor sem 4-es, sem 5-ös pontszámot nem lehet elérni.
A kérdés: Mi a legmagasabb pontszám nem lehet csak 3 pontos mezőnygólokkal és 7 pontos érintésekkel lehet elérni?
Természetesen a konverzió nélküli érintések 6-ot érnek, de mivel amúgy két mezőnygóllal el lehet jutni, ez nem számít a problémának. Továbbá, mivel itt matematikával foglalkozunk, nem kell aggódnia az adott csapat taktikája vagy akár a pontszerzés képességének korlátai miatt.
Próbálja tovább megoldani ezt, mielőtt továbbmegy!
Megoldás keresése (lassú út)
Ennek a problémának van néhány összetett matematikai megoldása (a részletekért lásd a forrásokat, de a fő eredményt az alábbiakban mutatjuk be), de ez jó példa arra, hogy ez nem szükséges hogy megtalálja a választ.
A durva erő megoldásának megtalálásához mindössze annyit kell tennie, hogy egyszerűen kipróbálja az egyes pontszámokat. Tehát tudjuk, hogy nem érhet el 1-et vagy 2-et, mert ők 3-nál kevesebbek. Már megállapítottuk, hogy a 4 és az 5 nem lehetséges, de a 6 két mezőnygóllal. 7 (ami lehetséges) után tudsz 8-at szerezni? Dehogy. Három mezőnygól 9-et ad, egy mezőnygól és egy konvertált touchdown pedig 10-et eredményez. De nem kaphat 11-et.
Innentől kezdve egy kis munka azt mutatja, hogy:
\ begin {aligned} 3 × 4 & = 12 \\ 7 + (3 × 2) & = 13 \\ 7 × 2 & = 14 \\ 3 × 5 & = 15 \\ 7 + (3 × 3) & = 16 \\ (7 × 2) + 3 & = 17 \ vége {igazítva}
És valójában folytathatja így, ameddig csak akarja. Úgy tűnik, a válasz 11. De vajon?
Az algebrai megoldás
A matematikusok ezeket a problémákat „Frobenius érmeproblémáknak” nevezik. Az eredeti forma az érmékkel kapcsolatos, például: Ha csak érméket értékelne 4 cent és 11 cent (nem valódi érmék, de ez megint számodra matematikai probléma), ami a legnagyobb pénzösszeg, amelyet nem tudtál termelni.
Az algebra szempontjából a megoldás az, hogy egy pontszámot ér el o pontot és egy pontot ér q pont, a legmagasabb pontszám, amelyet nem lehet megszerezni (N) által adva:
N = pq \; - \; (p + q)
Tehát a Super Bowl probléma értékeinek bedugása a következőket adja:
\ kezdődik {igazítva} N & = 3 × 7 \; – \;(3 + 7) \\ &= 21 \;–\; 10 \\ & = 11 \ vége {igazítva}
Amire a választ kaptuk lassan. Tehát mi lenne, ha csak érintés nélküli eredményeket érhetne el konverzió nélkül (6 pont) és egypontos konverzióval (7 pont)? Mielőtt továbbolvasna, nézze meg, hogy a képlet segítségével ki tudja-e dolgozni.
Ebben az esetben a képlet:
\ kezdődik {igazítva} N & = 6 × 7 \; – \;(6 + 7) \\ &= 42 \;–\; 13 \\ & = 29 \ vége {igazítva}
A csirke McNugget-probléma
Tehát a játéknak vége, és a győztes csapatot szeretné jutalmazni egy utazással a McDonald's-ba. De csak 9 vagy 20 dobozokban árulják a McNugget-eket. Tehát mi a legnagyobb számú rögök nem lehet vásárolni ezekkel (elavult) dobozszámokkal? Próbálja meg a képlet segítségével megtalálni a választ, mielőtt tovább olvasna.
Mivel
N = pq \; - \; (p + q)
És azzal o = 9 és q = 20:
\ kezdődik {igazítva} N & = 9 × 20 \; – \;(9 + 20) \\ &= 180 \;–\; 29 \\ & = 151 \ vége {igazítva}
Tehát feltéve, hogy több mint 151 rögöt vásárolt - végül is a győztes csapat valószínűleg elég éhes lesz - bármilyen dobozos kombinációval tetszőleges számú rögöt vásárolhat.
Lehet, hogy kíváncsi arra, hogy miért csak a probléma két számát ismertettük. Mi lenne, ha beépítenénk a biztonságot, vagy ha a McDonalds háromféle rögdobozt értékesítene? Van nincs egyértelmű képlet ebben az esetben, és bár a legtöbb verzió megoldható, a kérdés egyes szempontjai teljesen megoldatlanok.
Tehát, ha a játékot nézi, vagy harapásméretű csirkefalatokat eszik, akkor állíthatja, hogy megpróbál megoldani egy nyitott problémát a matematikában - érdemes megpróbálni kikerülni a munkából!