A legtöbb ember tud az energiatakarékosságról. Dióhéjban azt mondja, hogy az energia megmarad; nem jön létre és nem semmisül meg, és egyszerűen változik egyik formáról a másikra.
Tehát, ha egy labdát teljesen mozdulatlanul, két méterre a föld felett tart, majd elengedi, akkor honnan származik az általa nyert energia? Hogyan nyerhet valami teljesen ekkora kinetikus energiát, mielőtt földet érne?
A válasz az, hogy a mozdulatlan labda az elraktározott energia egy formáját meghívjagravitációs potenciális energia, vagy röviden GPE. Ez a tárolt energia egyik legfontosabb formája, amellyel egy középiskolás diák találkozni fog a fizikában.
A GPE a mechanikai energia egy olyan formája, amelyet az objektum magassága okoz a Föld felszíne felett (vagy akár a gravitációs mező bármely más forrása). Bármely objektumnak, amely nincs egy ilyen rendszer legalacsonyabb energia pontján, van valamilyen gravitációs potenciális energia, és ha van szabadon engedve (vagyis szabadon esni hagyják), addig felgyorsul a gravitációs tér közepe felé, amíg valami nem lesz megállítja.
Bár az objektum gravitációs potenciális energiájának megtalálási folyamata meglehetősen Matematikailag egyértelmű, hogy a fogalom rendkívül hasznos a számítás során egyéb mennyiségek. Például a GPE fogalmának megismerése nagyon megkönnyíti a leeső tárgy mozgási energiájának és végsebességének kiszámítását.
A gravitációs potenciális energia meghatározása
A GPE két kulcsfontosságú tényezőtől függ: az objektum gravitációs mezőhöz viszonyított helyzetétől és az objektum tömegétől. A gravitációs mezőt létrehozó test tömegközéppontja (a Földön, a bolygó közepe) a mező legalacsonyabb energiapontja (bár a gyakorlatban a a tényleges test megállítja az esést e pont előtt, ahogy a Föld felszíne), és minél távolabb van ettől a ponttól egy tárgy, annál több tárolt energiával rendelkezik pozíció. A tárolt energia mennyisége akkor is növekszik, ha az objektum tömegesebb.
Megértheti a gravitációs potenciális energia alapvető meghatározását, ha egy könyvre gondol, amely a könyvespolc tetején nyugszik. A könyvnek lehetősége van a padlóra esni, mivel a talajhoz képest magas helyzetben van, de amelyik kezdődik kint a földön nem eshet, mert már a felszínen van: A polcon lévő könyv GPE-vel rendelkezik, de a földön nem.
Az intuíció azt is elárulja, hogy egy kétszer vastagabb könyv kétszer akkora puffanást okoz, amikor földet ér; a tárgy tömege ugyanis egyenesen arányos az objektum gravitációs potenciális energiájának mennyiségével.
GPE Formula
A gravitációs potenciális energia (GPE) képlete nagyon egyszerű, és a tömegre vonatkozikm, a gravitáció miatti gyorsulás a Földöng) és a Föld felszínének magasságaha gravitáció miatt tárolt energiához:
GPE = mgh
Ahogy a fizikában általános, a gravitációs potenciális energiának sokféle lehetséges szimbóluma létezik, többek közöttUg, PEgrav és mások. A GPE az energia mértéke, így ennek a számításnak az eredménye joule (J) érték lesz.
A Föld gravitációjának köszönhető gyorsulásnak (nagyjából) állandó értéke van bárhol a felszínen, és közvetlenül a bolygó tömegközéppontjára mutat: g = 9,81 m / s2. Ezt az állandó értéket figyelembe véve a GPE kiszámításához csak az objektum tömege és az objektum felületi magassága szükséges.
GPE számítási példák
Tehát mit tegyen, ha ki kell számolnia, hogy egy tárgynak mekkora gravitációs potenciális energiája van? Lényegében egyszerűen meghatározhatja az objektum magasságát egy egyszerű referenciapont alapján (a talaj általában jól működik), és megszorozza ezt a tömegévelmés a földi gravitációs állandóghogy megtalálják a GPE-t.
Képzeljünk el például egy 10 kg-os tömeget, amely a talaj felett 5 méteres magasságban van felfüggesztve egy tárcsás rendszerrel. Mennyi gravitációs potenciális energiája van?
Az egyenlet felhasználásával és az ismert értékek helyettesítésével a következőket kapjuk:
\ begin {igazított} GPE & = mgh \\ & = 10 \; \ text {kg} × 9.81 \; \ text {m / s} ^ 2 × 5 \; \ text {m} \\ & = 490.5 \; \ szöveg {J} \ end {igazítva}
Ha azonban a cikk elolvasása során gondolkodott a koncepción, akkor érdekes kérdést fontolhatott meg: Ha a gravitációs potenciál a földön lévő tárgyak energiája csak akkor nulla, ha a tömeg középpontjában van (vagyis a Föld magjában), miért számítja ki úgy, mintha a A Föld azh = 0?
Az az igazság, hogy a magasság „nulla” pontjának kiválasztása tetszőleges, és ez általában az adott probléma egyszerűsítése érdekében történik. A GPE kiszámításakor valóban jobban érdekli a gravitációs potenciál energiaváltoztatásoknem pedig a tárolt energia bármiféle abszolút mértéke.
Lényegében nem számít, ha úgy dönt, hogy asztalt hívh= 0, nem pedig a Föld felszíne, mert te mindig az vagytulajdonképpena magasság változásával kapcsolatos potenciális energia változásairól beszélni.
Gondoljon tehát arra, hogy valaki felemel egy 1,5 kg-os fizikai tankönyvet az íróasztal felszínéről, és 50 cm-rel (azaz 0,5 m-rel) feljebb emeli azt. Mi a gravitációs potenciális energiaváltozás (jelölve ∆GPE) a könyvnek, ahogyan felemelik?
A trükk természetesen az, hogy a táblázatot referenciapontnak nevezzük, amelynek magasságah= 0, vagy azzal egyenértékű, a magasság változásának figyelembe vételéhez (∆h) a kiindulási helyzetből. Mindkét esetben a következőket kapja:
\ begin {aligned} ∆GPE & = mg∆h \\ & = 1.5 \; \ text {kg} × 9.81 \; \ text {m / s} ^ 2 × 0.5 \; \ text {m} \\ & = 7.36 \; \ text {J} \ end {igazítva}
A „G” betétele a GPE-be
A gravitációs gyorsulás pontos értékega GPE-egyenletben nagy hatással van a gravitációs mező forrása fölött bizonyos távolságra emelt objektum gravitációs potenciális energiájára. A Mars felszínén például agkörülbelül háromszor kisebb, mint a Föld felszínén, tehát ha ugyanazt a tárgyat emeli meg távolságban a Mars felszínétől, körülbelül háromszor kevesebb tárolt energiával rendelkezne, mint rajta Föld.
Hasonlóképpen, bár közelítheti ag9,81 m / s sebességgel2 a Föld felszínén a tengerszint felett valójában kisebb, ha jelentős távolságra mozog a felszíntől. Például, ha egy Mt. Az Everest, amely 8848 m-rel (8,848 km) emelkedik a Föld felszíne fölé, és olyan távol áll a bolygó tömegközéppontjától, csökkentené agenyhén, így lett volnag= 9,79 m / s2 a csúcson.
Ha sikeresen felmászott volna a hegyre, és a hegycsúcstól 2 m-re eljutott 2 kg-os tömeget a levegőbe emelte, mi lenne a változás a GPE-ben?
Mint a GPE kiszámítása egy másik bolygón, amelynek értéke különbözikg, egyszerűen beírja a (z) értékétgamely megfelel a helyzetnek és ugyanazon a folyamaton megy keresztül, mint fent:
\ begin {aligned} ∆GPE & = mg∆h \\ & = 2 \; \ text {kg} × 9.79 \; \ text {m / s} ^ 2 × 2 \; \ text {m} \\ & = 39,16 \; \ text {J} \ end {igazítva}
Tengerszinten a Földön, ag= 9,81 m / s2, ugyanazon tömeg emelése megváltoztatná a GPE-t:
\ begin {igazítva} ∆GPE & = mg∆h \\ & = 2 \; \ text {kg} × 9.81 \; \ text {m / s} ^ 2 × 2 \; \ text {m} \\ & = 39,24 \; \ text {J} \ end {igazítva}
Ez nem nagy különbség, de egyértelműen megmutatja, hogy a magasság ugyanúgy befolyásolja a GPE változását, amikor ugyanazt az emelési mozgást hajtja végre. És a Mars felszínén, holg= 3,75 m / s2 lenne:
\ begin {aligned} ∆GPE & = mg∆h \\ & = 2 \; \ text {kg} × 3,75 \; \ text {m / s} ^ 2 × 2 \; \ text {m} \\ & = 15 \; \ text {J} \ end {igazítva}
Amint láthatja, agnagyon fontos az elért eredményhez. Ugyanezt az emelő mozgást végezve a mély térben, távol a gravitációs erő hatásától, a gravitációs potenciális energia lényegében nem változik.
Kinetikus energia megtalálása GPE használatával
Az energiatakarékosság a GPE koncepciójával együtt használható az egyszerűsítés érdekébensokszámítások a fizikában. Röviden, egy „konzervatív” erő hatására a teljes energia (beleértve a kinetikus energiát, a gravitációs potenciál energiáját és az összes többi energiaformát) megőrződik.
A konzervatív erő az, ahol az objektum két pont közötti mozgatására irányuló erő ellen végzett munka mennyisége nem függ a megtett úttól. Tehát a gravitáció konzervatív, mert egy tárgyat egy referenciapontról magasra emelháltal megváltoztatja a gravitációs potenciális energiátmgh, de nincs különbség, hogy S alakú ösvényen vagy egyenes vonalban mozgatja-e - mindig csak változikmgh.
Most képzeljen el egy olyan helyzetet, amikor egy 500 g-os (0,5 kg-os) labdát dob le 15 méteres magasságból. Ha figyelmen kívül hagyjuk a légellenállás hatását, és feltételezzük, hogy zuhanása alatt nem forog, akkor mekkora mozgási energiája lesz a gömbnek, mielőtt érintkezne a talajjal?
A probléma kulcsa az a tény, hogy a teljes energia konzerválódik, így az összes kinetikus energia a GPE-ből származik, és így a kinetikus energiaEk - maximális értékének meg kell egyeznie a GPE-vel a legnagyobb értékén, vagyGPE = Ek. Így könnyen megoldhatja a problémát:
\ begin {aligned} E_k & = GPE \\ & = mgh \\ & = 0.5 \; \ text {kg} × 9.81 \; \ text {m / s} ^ 2 × 15 \; \ text {m} \\ & = 73.58 \; \ text {J} \ end {igazítva}
A végső sebesség megtalálása a GPE és az energiatakarékosság segítségével
Az energiatakarékosság leegyszerűsíti a gravitációs potenciális energiával kapcsolatos számításokat is. Gondoljon az előző példa gömbjére: most, amikor ismeri a teljes kinetikus energiát a gravitációja alapján potenciális energia a legmagasabb pontján, mekkora a golyó végsebessége abban a pillanatban, mielőtt eléri a Földet felület? Ezt a kinetikus energia standard egyenlete alapján dolgozhatja ki:
E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2
ÉrtékévelEk ismert, újrarendezheti az egyenletet és megoldhatja a sebességetv:
\ begin {aligned} v & = \ sqrt {\ frac {2E_k} {m}} \\ & = \ sqrt {\ frac {2 × 73.575 \; \ text {J}} {0.5 \; \ text {kg}} } \\ & = 17.16 \; \ text {m / s} \ end {igazítva}
Az energiamegtakarítást azonban felhasználhatja arra az egyenletre, amelyre vonatkozikBármileeső tárgy, először megjegyezve, hogy az ilyen helyzetekben -∆GPE = ∆Ek, és aztán:
mgh = \ frac {1} {2} mv ^ 2
Törlésmmindkét oldalról, és az újrarendezés:
gh = \ frac {1} {2} v ^ 2 \\ \ text {Ezért} \; v = \ sqrt {2gh}
Vegye figyelembe, hogy ez az egyenlet azt mutatja, hogy a légellenállást figyelmen kívül hagyva a tömeg nem befolyásolja a végsebességetv, tehát ha bármely két tárgyat leesik ugyanarról a magasságról, azok pontosan egy időben ütköznek a földre, és azonos sebességgel esnek. Ellenőrizheti az egyszerűbb, kétlépcsős módszerrel kapott eredményt is, és megmutathatja, hogy ez az új egyenlet valóban ugyanazt az eredményt adja-e a megfelelő egységekkel.
Földön kívüli értékeinek levezetésegA GPE használata
Végül az előző egyenlet lehetőséget ad számításra isgmás bolygókon. Képzelje el, hogy a 0,5 kg-os labdát 10 m-ről a Mars felszíne fölé ejtette, és 8,66 m / s végsebességet rögzített (közvetlenül a felszínig érés előtt). Mi az értékega Marson?
Az újrarendezés korábbi szakaszától kezdve:
gh = \ frac {1} {2} v ^ 2
Látod:
\ begin {aligned} g & = \ frac {v ^ 2} {2h} \\ & = \ frac {(8.66 \; \ text {m / s}) ^ 2} {2 × 10 \; \ text {m }} \\ & = 3,75 \; \ text {m / s} ^ 2 \ end {igazítva}
Az energia megőrzésének, a gravitációs potenciális energia és a kinetikus energia egyenleteivel kombinálva, van:sokhasznál, és amikor megszokja a kapcsolatok kiaknázását, akkor a klasszikus fizika problémáinak széles skáláját könnyedén meg tudja oldani.
