Az euklideszi távolság az euklideszi tér két pontja közötti távolság. Az euklideszi teret eredetileg Kr. E. 300 körül Euklidész görög matematikus találta ki. hogy tanulmányozzuk a szögek és a távolságok kapcsolatát. Ezt a geometriai rendszert ma is használják, és ezt tanulják a középiskolások a leggyakrabban. Az euklideszi geometria kifejezetten a két és három dimenziós terekre vonatkozik. Könnyen általánosítható azonban magasabb rendű dimenziókra.
Számítsa ki az euklideszi távolságot egy dimenzióhoz. Egy dimenzió két pontja közötti távolság egyszerűen a koordinátáik közötti különbség abszolút értéke. Matematikailag ez | p1 - q1 | alakban jelenik meg ahol p1 az első pont első koordinátája, q1 pedig a második pont első koordinátája. Ennek a különbségnek az abszolút értékét használjuk, mivel a távolságot általában nem negatív értéknek tekintik.
Vegyünk két P és Q pontot kétdimenziós euklideszi térben. Leírjuk P-t a koordinátákkal (p1, p2) és Q-t a koordinátákkal (q1, q2). Most építsen egy vonalszakaszt a P és Q végpontokkal. Ez a vonalszakasz alkotja a derékszögű háromszög hipotenuszát. Az 1. lépésben kapott eredmények kiterjesztésével megjegyezzük, hogy ennek a háromszögnek a lábai hosszát | p1 - q1 | és | p2 - q2 | A két pont közötti távolságot ezután a hipotenusz hosszaként adjuk meg.
Használja a Pitagorasz-tételt a hipotenusz hosszának meghatározásához a 2. lépésben. Ez a tétel kimondja, hogy c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ahol c a derékszögű háromszög hipotenuszának hossza és a, b a másik két láb hossza. Ez megadja c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2) értéket. A két pont P = (p1, p2) és Q = (q1, q2) távolsága kétdimenziós térben tehát ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Bővítse a 3. lépés eredményeit háromdimenziós térre. A P = (p1, p2, p3) és Q = (q1, q2, q3) pontok közötti távolságot ekkor megadhatjuk ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
Általánosítsa a 4. lépésben szereplő megoldást két P = (p1, p2,..., pn) és Q = (q1, q2,..., qn) pont távolságára n dimenzióban. Ez az általános megoldás ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 +... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).