Prije rasprave o težištu, pretpostavimo nekoliko parametara. Prvo, da imate posla s objektom koji je na površini Zemlje, a ne negdje u svemiru. I dva, da je objekt razmjerno malen - recimo, ne svemirski brod koji je parkiran na Zemlji i čeka polijetanje. Jednom kad se uklone svi ti vanzemaljski utjecaji, u dobrom ste položaju da izračunate težište geometrijskih objekata pomoću relativno jednostavna formula - i zapravo, zbog tih tek postavljenih uvjeta, upotrijebit ćete istu formulu za pronalaženje težišta kao i za pronalaženje središte mase.
Kako pisati o centru gravitacije
Težište u dvodimenzionalnoj ravnini obično se označava koordinatama (xcg, gcg) ili ponekad varijablamaxigs šipkom nad njima. Također, termin "težište" ponekad je skraćen za cg.
Kako izračunati CG trokuta
Vaš udžbenik matematike ili fizike često će imati tablice za određivanje središta ravnoteže određenih figura. Ali za neke uobičajene geometrijske oblike možete upotrijebiti odgovarajuću formulu težišta da biste pronašli težište tog oblika.
Za trokute, težište je smješteno na mjestu gdje se sijeku sve tri medijane. Ako započnete s jednim vrhom trokuta, a zatim povučete ravnu crtu do sredine druge strane, to je jedna medijana. Učinite isto za ostala dva vrha, a točka gdje se sijeku sve tri medijane je težište trokuta.
I naravno, postoji formula za to. Ako su koordinate težišta trokuta (xcg, gcg), tako ćete pronaći njegove koordinate:
x_ {cg} = \ frac {x_1 + x_2 + x_3} {3} \\\ tekst {} \\ y_ {cg} = \ frac {y_1 + y_2 + y_3} {3}
Gdje (x1, g1), (x2, g2) i (x3, g3) su koordinate tri vrha trokuta. Možete odabrati kojem tjemenu se dodjeljuje koji broj.
Formula težišta za pravokutnik
Jeste li primijetili da da biste pronašli težište trokuta, samo prosječite vrijednost x koordinata, zatim prosječite vrijednost y-koordinata i upotrijebite dva rezultata kao koordinate za svoje težište?
Da biste pronašli težište pravokutnika, radite potpuno istu stvar. Ali da bi vam proračuni bili još lakši, pretpostavimo da je pravokutnik orijentiran pravokružno na kartezijanski koordinatna ravnina (tako da nije postavljena pod kutom), te da joj je donji lijevi vrh u ishodištu graf. U tom slučaju, pronaći (xcg, gcg) za pravokutnik sve što trebate izračunati je:
x_ {cg} = \ frac {\ text {width}} {2} \\\ text {} \\ y_ {cg} = \ frac {\ text {height}} {2}
Ako svoj pravokutnik ne želite premjestiti na ishodište koordinatne ravnine ili ako iz bilo kojeg razloga nije točno kvadrat u odnosu na koordinatnih osi, možete se suočiti s ovom malo zastrašujućom, ali i dalje učinkovitom formulom za prosječno izračunavanje svih x koordinata kako biste pronašli vrijednost od xcg, i prosječite sve y-koordinate da biste pronašli vrijednost ycg:
x_ {cg} = \ frac {x_1 + x_2 + x_3 + x_4} {4} \\\ text {} \\ y_ {cg} = \ frac {y_1 + y_2 + y_3 + y_4} {4}
Jednadžba centra gravitacije
Što ako trebate izračunati težište za oblik koji odgovara svim prethodno spomenutim pretpostavkama (u osnovi, ne pokušavate se baviti doslovnom raketnom znanošću pronalaženjem centra gravitacije za objekte u svemiru), ali ne spada ni u jednu od upravo spomenutih kategorija ili na karte na poleđini vašeg udžbenik? Tada svoj oblik možete podijeliti na poznatije oblike i pomoću sljedećih jednadžbi pronaći njihovo kolektivno težište:
x_ {cg} = \ frac {a_1x_1 + a_2x_2 +... + a_nx_n} {a_1 + a_2 +... + a_n} \\\ tekst {} \\ y_ {cg} = \ frac {a_1y_1 + a_2y_2 +... + a_ny_n} {a_1 + a_2 +... + a_n}
Ili drugačije rečeno, xcg jednak je površini odjeljka 1 puta njegovoj lokaciji na x-osi, dodanoj površini presjeka 2 puta većoj od njegove lokacije i tako dalje dok ne zbrojite površinu puta lokaciju svih dijelova; zatim cijeli taj iznos podijelite s ukupnom površinom svih odjeljaka. Zatim učinite isto za y.
P: Kako mogu pronaći područje svakog odjeljka?Dijeljenjem vašeg složenog ili nepravilnog oblika na poznatije poligone omogućuje vam korištenje standardiziranih formula za pronalaženje područja. Na primjer, ako ste taj oblik podijelili na pravokutne dijelove, možete upotrijebiti duljinu formule × širinu da biste pronašli površinu svakog dijela.
P: Koje je "mjesto" svakog odjeljka?Mjesto svakog presjeka je odgovarajuća koordinata od težišta tog odsječka. Pa ako želiš y2 (mjesto za segment 2), zapravo trebate navesti y-koordinatu za težište tog segmenta. Ponovno, to je razlog zašto čudno oblikovan objekt podijelite na poznatije oblike, jer možete koristiti formule o kojima smo već raspravljali kako bismo pronašli težište svakog oblika, a zatim izvukli odgovarajuću koordinatu (s).
P: Gdje moj oblik ide na koordinatnoj ravnini?Morate odabrati gdje će se vaš oblik nalaziti na koordinatnoj ravnini - samo imajte na umu da će težište vašeg odgovora biti u odnosu na istu referentnu točku. Najlakše je svoj objekt smjestiti u prvi kvadrant vašeg grafikona, donjim rubom prema osi x i lijevi rub prema osi y tako da su sve vrijednosti x i y pozitivne, ali i dovoljno male da budu upravljiv.
Trikovi za pronalaženje gravitacijskog centra
Ako imate posla s jednim objektom, intuicija i malo logike ponekad su sve što vam je potrebno da biste pronašli njegovo težište. Na primjer, ako razmišljate o ravnom disku, težište će biti središte diska. U cilindru je srednja točka na osi cilindra. Za pravokutnik (ili kvadrat) to je mjesto gdje se dijagonalne crte konvergiraju.
Ovdje ste možda primijetili uzorak: Ako predmetni objekt ima liniju simetrije, težište će biti na toj liniji. A ako ima više osi simetrije, težište će biti tamo gdje se te osi sijeku.
Napokon, ako pokušavate pronaći težište doista složenog objekta, imate dvije mogućnosti: Ili izbacite svoje najbolje integrale računa (pogledajte Resursi za trostruki integral koji predstavlja težište za nejednoliku masu) ili unesite svoje podatke u posebno izgrađeno težište kalkulator. (Pogledajte Resurse za primjer kalkulatora težišta za radio-upravljane avione.)