Jeste li se ikad zapitali koliko vode ili kave može stati u jednu od onih naizgled bezbrojnih plastičnih čaša za jednokratnu upotrebu, one koja je u podnožju uža nego na vrhu? Drugim riječima, gotovo svaki papir, plastiku ili drugu šalicu za jednokratnu upotrebu koju ste ikada vidjeli ili koristili? (Da budemo pošteni, neke čaše nemaju nagnute stranice i stoga su cilindrične, ali čini se da se to odnosi samo na njih trajni šalice.)
Gore opisana vrsta oblika temelji se na a konus, što je rezultat linije koja se provlači kroz prostor i trasira zakrivljeni put kao što je krug (u najjednostavnijem slučaju) ili elipsa. Šalica obično nije šiljasta (neki koji imaju smrznute poslastice), ali je geometrijski gledano svejedno "komad" čunja. To olakšava pronalaženje glasnoće s strpljenjem.
Volumen konusa
Formula za volumen pravilnog ili desnog stošca (odnosno onog s kružnom bazom) je
V = \ frac {1} {3} πr ^ 2h
Gdje r je polumjer baze i h je visina konusa. Također, budući da s bočne strane desni konus izgleda kao dva pravokutna trokuta postavljena zajedno, duljina
s nagnute strane stošca ima istu vrijednost kao i hipotenuza jednog od ovih trokuta. Stoga se daje primjenom pitagorejskog teorema: r2 + h2 = s2, takos = \ sqrt {r ^ 2 + h ^ 2}
Volumen sužene čašice: prvi dio
Recimo da imate čašu koja je u osnovi široka 8 centimetara (cm), na vrhu 10 cm i visoka 15 cm. Koliko tekućine može držati u cm3, koji se nazivaju i mililitri (ml)?
Jedan od načina da se riješi ovaj problem je crtanje presjeka čaše, odnosno izgleda sa strane nakon što je izrezan točno na pola okomito na vaše vidno polje. Ako povučete okomite crte prema gore od dviju točaka na kojima se baza sastaje sa stranama do vrha šalicu, sada ste presjek podijelili na dva jednaka, odbijena pravokutna trokuta i a pravokutnik. Trokuti imaju duge "noge" od 15 cm i kratke "noge" od 1 cm (dijeleći razliku između osnovne širine i gornje širine).
Volumen sužene čaše: Drugi dio
Primijetite što se događa ako stranice šalice na vašem dijagramu proširite do točke ispod podnožja. Također produžite liniju prema gore od središta vrha prema točki prema kojoj se linije konvergiraju. (Možda nećete imati mjesta da se stranice spoje i naprave zatvoreni trokut, ali približite se što više možete,)
Zbog principa sličnih trokuta znate da je omjer dugog kraka trokuta odozgo (15 cm) i omjera malog kraka (1 cm) ili 15 prema 1, mora biti jednak omjeru male noge i duge noge jednog novostvorenog trokuta između baze "šalice" i točka. Budući da mala noga ima vrijednost 4 cm, duga noga mora biti 15 puta veća ili 60 cm.
Tako se sada bavite presjekom konusa ukupne visine 15 + 60 = 75 cm i širine 10 cm, što znači radijus od 5 cm. Volumen ovog konusa minus volumen konusa koji se proteže do dna čaše, koji ima visinu od 60 cm i širinu od 8 cm (r = 4 cm) daje željeni rezultat:
\ početak {poravnato} \ frac {1} {3} × π × 5 ^ 2 × 75 = 1963,5 \ text {mL} \\ \ frac {1} {3} × π × 4 ^ 2 × 60 = 1005,3 \ text {ml} \\ 1963,5 - 1005,3 = 958,2 \ tekst {ml} \ kraj {poravnato}
Stoga vaša šalica drži vrlo blizu 1 L (1.000 ml) tekućine.
Kalkulator volumena konusa i šalice
Pogledajte Resurse za popis kalkulatora koji uključuju čunjeve s različitim početnim kombinacijama informacija. Možete koristiti i gore navedeni pristup i podijeliti šalicu u različite oblike, a zatim upotrijebiti jednostavnije formule (poput formule za volumen kocke) u odgovarajućim kombinacijama za pronalaženje ukupnog volumen.