Zamislite da stojite usred savršeno kružne arene. Gledate prema gužvi uz bok borilišta i na jednom mjestu ugledate svog najboljeg prijatelja, a nekoliko dijelova vašeg srednjoškolskog učitelja matematike. Kolika je udaljenost između njih i vas? Koliko biste morali pješačiti da biste putovali od sjedišta prijatelja do mjesta učitelja? Koje su mjere kutova između vas? Sve su to pitanja vezana uz središnje kutove.
A središnji kut je kut koji nastaje kad se dva polumjera povuku od središta kružnice do njezinih rubova. U ovom primjeru, dva radijusa su vaša dva vidna polja od vas, u središtu arene, do vašeg prijatelja i vaš vidokrug do vašeg učitelja. Kut koji nastaje između ove dvije linije središnji je kut. To je kut najbliži središtu kruga.
Vaš prijatelj i vaš učitelj sjede duž opseg ili rubovi kruga. Put duž arene koji ih povezuje je luk.
Pronađite središnji kut prema duljini i opsegu luka
Postoji nekoliko jednadžbi pomoću kojih ćete pronaći središnji kut. Ponekad ćete dobiti dužina luka, udaljenost duž opsega između dviju točaka. (U primjeru je ovo udaljenost koju biste morali prijeći oko arene da biste prešli prijatelja od učitelja.) Odnos između središnjeg kuta i duljine luka je:
(dužina luka) ÷ opseg = (središnji kut) ÷ 360 °
Središnji kut bit će u stupnjevima.
Ova formula ima smisla, ako dobro razmislite. Duljina luka izvan ukupne duljine oko kruga (opseg) jednaka je proporciji kao i kut luka izvan ukupnog kuta u krugu (360 stupnjeva).
Da biste učinkovito koristili ovu jednadžbu, morate znati opseg kruga. Ali ovu formulu možete koristiti i za pronalaženje duljine luka ako znate središnji kut i opseg. Ili, ako imate duljinu luka i središnji kut, možete pronaći opseg!
Pronađite središnji kut prema duljini i polumjeru luka
Također možete koristiti radijus kruga i duljinu luka da biste pronašli središnji kut. Nazovite mjeru središnjeg kuta θ. Zatim:
θ = s÷ r, gdje je s duljina luka, a r polumjer. θ se mjeri u radijanima.
Opet, možete preurediti ovu jednadžbu ovisno o informacijama koje imate. Duljinu luka možete pronaći iz radijusa i središnjeg kuta. Ili možete pronaći radijus ako imate središnji kut i duljinu luka.
Ako želite duljinu luka, jednadžba izgleda ovako:
s =θ * r, gdje je s duljina luka, r je polumjer, a θ središnji kut u radijanima.
Teorem o središnjem kutu
Dodajmo zaokret vašem primjeru kada ste u areni sa svojim susjedom i svojim učiteljem. Sada je u areni treća osoba koju poznajete: vaš susjed. I još nešto: oni su iza vas. Morate se okrenuti da biste ih vidjeli.
Vaš je susjed otprilike preko puta arene vašeg prijatelja i vašeg učitelja. S gledišta vašeg susjeda, postoji kut koji oblikuju njihova vidokruga prema prijatelju i njihov vidni pogled prema učitelju. To se zove upisani kut. An upisani kut je kut koji čine tri točke duž opsega kruga.
Teorem o središnjem kutu objašnjava odnos između veličine središnjeg kuta koji ste oblikovali vi i upisanog kuta koji je oblikovao vaš susjed. The Teorem središnjeg kuta navodi da središnji kut je dvostruko upisani kut. (To pretpostavlja da koristite iste krajnje točke. Oboje gledate učitelja i prijatelja, a ne bilo koga drugog).
Evo još jednog načina da to napišem. Nazovimo sjedište vašeg prijatelja, sjedište vašeg učitelja B i sjedište vašeg susjeda C. Ti, u središtu, možeš biti O.
Dakle, za tri točke A, B i C duž opsega kružnice i točke O u središtu, središnji kut ∠AOC dvostruko je upisani kut ∠ABC.
To je, ∠AOC = 2∠ABC.
Ovo ima nekog smisla. Bliži ste prijatelju i učitelju, tako da vam izgledaju dalje (veći kut). Vašem susjedu s druge strane stadiona izgledaju puno bliže (manji kut).
Iznimka od teorema o središnjem kutu
Sada, pomaknimo stvari. Vaš se susjed na udaljenoj strani arene počinje kretati! Još uvijek imaju vidokrug prema prijatelju i učitelju, ali crte i kutovi se mijenjaju dok se susjed kreće. Pogodite: Sve dok susjed ostaje izvan luka između prijatelja i susjeda, teorema o središnjem kutu i dalje vrijedi!
Ali što se događa kad se susjed preseli između prijatelj i učitelj? Sada je vaš susjed unutar manji luk, relativno mala udaljenost između prijatelja i učitelja u odnosu na veću udaljenost oko ostatka borilišta. Tada ćete doći do iznimke od teorema o središnjem kutu.
The iznimka od teorema o središnjem kutu navodi da kada je točka C, susjed, unutar malog luka, upisani kut je dodatak polovici središnjeg kuta. (Zapamtite da je kut i njegov dopuniti dodajte na 180 stupnjeva.)
Tako: upisani kut = 180 - (središnji kut ÷ 2)
Ili: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)
Vizualizirajte
Math Open Reference ima alat za vizualizaciju teorema središnjeg kuta i njegove iznimke. Dovući ćete "susjeda" na sve različite dijelove kruga i gledati promjene kutova. Isprobajte ako želite vizualnu ili dodatnu praksu!