Rješavanje apsolutnih nejednakosti vrijedno je poput rješavanja jednadžbi apsolutne vrijednosti, ali ima nekoliko dodatnih detalja koje morate imati na umu. Pomaže već ugodno rješavanje jednadžbi apsolutne vrijednosti, ali u redu je ako ih učite i zajedno!
Definicija apsolutne nejednakosti vrijednosti
Prije svega, anapsolutna nejednakost vrijednostije nejednakost koja uključuje izraz apsolutne vrijednosti. Na primjer,
| 5 + x | - 10> 6
je nejednakost apsolutne vrijednosti jer ima znak nejednakosti,> i izraz apsolutne vrijednosti, | 5 +x |.
Kako riješiti apsolutnu nejednakost vrijednosti
Thekoraci do rješavanja apsolutne vrijednosne nejednakostislični su koracima za rješavanje jednadžbe apsolutne vrijednosti:
Korak 1:Izolirajte izraz apsolutne vrijednosti s jedne strane nejednakosti.
Korak 2:Riješite pozitivnu "verziju" nejednakosti.
Korak 3:Riješite negativnu "verziju" nejednakosti množenjem količine s druge strane nejednakosti s -1 i okretanjem znaka nejednakosti.
To je puno za uzeti odjednom, pa evo primjera koji će vas provesti kroz korake.
Riješi nejednakost zax:
| 5 + 5x | - 3> 2
Da biste to učinili, nabavite | 5 + 5x| sama po sebi na lijevoj strani nejednakosti. Sve što morate učiniti je dodati po 3 na svaku stranu:
| 5 + 5x | - 3 + 3> 2 + 3 \\ | 5 + 5x | > 5.
Sada postoje dvije "verzije" nejednakosti koje moramo riješiti: pozitivna "verzija" i negativna "verzija".
U ovom ćemo koraku pretpostaviti da stvari stoje onako kako se čine: da je 5 + 5x > 5.
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x> 5
Ovo je jednostavna nejednakost; samo moraš riješitixkao i obično. Oduzmite 5 s obje strane, a zatim podijelite obje strane s 5.
\ početak {poravnato} & 5 + 5x> 5 \\ & 5 + 5x - 5> 5 - 5 \ quad \ text {(oduzeti pet s obje strane)} \\ & 5x> 0 \\ & 5x (÷ 5)> 0 (÷ 5) \ quad \ text {(podijeliti obje strane s pet)} \\ & x> 0 \ end {poravnato}
Nije loše! Dakle, jedno od mogućih rješenja za našu nejednakost je tox> 0. Sada, budući da su tu uključene apsolutne vrijednosti, vrijeme je da razmotrimo još jednu mogućnost.
Da bismo razumjeli ovaj sljedeći bit, pomaže se sjetiti se što apsolutna vrijednost znači.Apsolutna vrijednostmjeri udaljenost broja od nule. Udaljenost je uvijek pozitivna, tako da je 9 devet jedinica udaljeno od nule, ali −9 je također devet jedinica udaljeno od nule.
Dakle | 9 | = 9, ali | −9 | = 9 također.
Sada se vratimo na gornji problem. Gornji rad pokazao je da | 5 + 5x| > 5; drugim riječima, apsolutna vrijednost "nečega" veća je od pet. Sad će svaki pozitivni broj veći od pet biti dalje od nule nego pet. Dakle, prva opcija bila je ona "nešto", 5 + 5x, veći je od 5.
To je:
5 + 5x> 5
To je scenarij obrađen gore, u koraku 2.
Sada razmislite malo dalje. Što je još pet jedinica udaljeno od nule? Pa, negativnih pet jest. A sve dalje duž brojevne crte od negativnih pet bit će još dalje od nule. Tako bi naše "nešto" moglo biti negativan broj koji je dalje od nule od negativnih pet. To znači da bi to bio veći zvučni broj, ali tehničkimanje odnegativnih pet jer se kreće u negativnom smjeru na brojevnoj crti.
Dakle, naše "nešto", 5 + 5x, moglo bi biti manje od −5.
5 + 5x
Brzi način da se to učini algebarski je pomnoženje količine s druge strane nejednakosti, 5, s negativnom, a zatim okretanje predznaka nejednakosti:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x
Zatim riješite kao i obično.
\ započeti {poravnato} & 5 + 5x
Dakle, dva su moguća rješenja za nejednakostx> 0 ilix< −2. Provjerite se uključivanjem nekoliko mogućih rješenja kako biste bili sigurni da nejednakost i dalje vrijedi.
Apsolutne nejednakosti u vrijednosti bez rješenja
Postoji scenarij gdje bi ga bilonema rješenja za apsolutnu nejednakost vrijednosti. Budući da su apsolutne vrijednosti uvijek pozitivne, ne mogu biti jednake ili manje od negativnih brojeva.
Dakle |x| nikakvo rješenjejer ishod izraza apsolutne vrijednosti mora biti pozitivan.
Oznaka intervala
Da napišemo rješenje za naš glavni primjer uzapis intervala, razmislite kako rješenje izgleda na brojevnoj crti. Naše je rješenje bilox> 0 ilix< −2. Na brojevnoj crti to je otvorena točka na 0, s crtom koja se proteže do pozitivne beskonačnosti, a otvorena točka na -2, s crtom koja se proteže do negativne beskonačnosti. Ta rješenja usmjeravaju jedno prema drugome, a ne jedno prema drugome, zato uzmite svaki komad zasebno.
Za x> 0 na brojevnoj liniji postoji otvorena točka na nuli, a zatim linija koja se proteže do beskonačnosti. U zapisu intervala otvorena točka prikazana je zagradama (), a zatvorena točka ili nejednakosti s ≥ ili ≤ koristile bi zagrade, []. Tako zax> 0, napiši (0, ∞).
Druga polovica,x
"Ili" u intervalskom zapisu znak je unije, ∪.
Dakle, rješenje u zapisu intervala je
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)