3 metode za rješavanje sustava jednadžbi

Tri metode koje se najčešće koriste za rješavanje sustava jednadžbi su supstitucija, eliminacija i proširene matrice. Zamjena i eliminacija jednostavne su metode koje mogu učinkovito riješiti većinu sustava dviju jednadžbi u nekoliko direktnih koraka. Metoda proširenih matrica zahtijeva više koraka, ali njezina se primjena širi na veći broj sustava.

Zamjena je metoda rješavanja sustava jednadžbi uklanjanjem svih varijabli osim jedne u jednoj jednadžbi, a zatim rješavanjem te jednadžbe. To se postiže izoliranjem druge varijable u jednadžbu i zamjenom vrijednosti za te varijable u drugoj jednadžbi. Na primjer, da biste riješili sustav jednadžbi x + y = 4, 2x - 3y = 3, u prvom izolirajte varijablu x jednadžba da se dobije x = 4 - y, a zatim ovu vrijednost y zamijenite drugom jednadžbom da biste dobili 2 (4 - y) - 3y = 3. Ova jednadžba pojednostavljuje na -5y = -5 ili y = 1. Priključite ovu vrijednost u drugu jednadžbu da biste pronašli vrijednost x: x + 1 = 4 ili x = 3.

Eliminacija je drugi način rješavanja sustava jednadžbi prepisivanjem jedne od jednadžbi u smislu samo jedne varijable. Metoda eliminacije to postiže dodavanjem ili oduzimanjem jednadžbi jedna od druge kako bi se poništila jedna od varijabli. Na primjer, dodavanjem jednadžbi x + 2y = 3 i 2x - 2y = 3 dobije se nova jednadžba, 3x = 6 (imajte na umu da su pojmovi y poništeni). Tada se sustav rješava istim metodama kao i za zamjenu. Ako je nemoguće poništiti varijable u jednadžbama, trebat će pomnožiti cijelu jednadžbu s faktorom kako bi se koeficijenti poklopili.

Proširene matrice također se mogu koristiti za rješavanje sustava jednadžbi. Proširena matrica sastoji se od redaka za svaku jednadžbu, stupaca za svaku varijablu i proširenog stupca koji sadrži konstantni pojam s druge strane jednadžbe. Na primjer, proširena matrica za sustav jednadžbi 2x + y = 4, 2x - y = 0 je [[2 1], [2 -1]... [4, 0]].

Sljedeći korak uključuje upotrebu elementarnih operacija redaka kao što je množenje ili dijeljenje retka konstantom koja nije nula i zbrajanje ili oduzimanje redaka. Cilj ovih operacija je pretvoriti matricu u oblik ešalona reda, u kojem je prvi unos koji nije nula u svakom retku unosi 1, iznad i ispod ovog unosa nalaze se sve nule, a prvi unos koji nije nula za svaki redak uvijek je desno od svih takvih unosa u redovima iznad toga. Redni ešalonski oblik za gornju matricu je [[1 0], [0 1]... [1, 2]]. Vrijednost prve varijable daje prvi redak (1x + 0y = 1 ili x = 1). Vrijednost druge varijable daje drugi redak (0x + 1y = 2 ili y = 2).

Zamjena i eliminacija jednostavnije su metode rješavanja jednadžbi i koriste se puno češće od proširenih matrica u osnovnoj algebri. Metoda supstitucije posebno je korisna kada je jedna od varijabli već izolirana u jednoj od jednadžbi. Metoda eliminacije korisna je kada je koeficijent jedne od varijabli jednak (ili njezin negativni ekvivalent) u svim jednadžbama. Primarna prednost proširenih matrica je što se može koristiti za rješavanje sustava od tri ili više jednadžbi u situacijama kada su supstitucija ili eliminacija ili neizvedive ili nemoguće.