Tri metode koje se najčešće koriste za rješavanje sustava jednadžbi su supstitucija, eliminacija i proširene matrice. Zamjena i eliminacija jednostavne su metode koje mogu učinkovito riješiti većinu sustava dviju jednadžbi u nekoliko direktnih koraka. Metoda proširenih matrica zahtijeva više koraka, ali njezina se primjena širi na veći broj sustava.
Zamjena
Zamjena je metoda rješavanja sustava jednadžbi uklanjanjem svih varijabli osim jedne u jednoj jednadžbi, a zatim rješavanjem te jednadžbe. To se postiže izoliranjem druge varijable u jednadžbu i zamjenom vrijednosti za te varijable u drugoj jednadžbi. Na primjer, da biste riješili sustav jednadžbi x + y = 4, 2x - 3y = 3, u prvom izolirajte varijablu x jednadžba da se dobije x = 4 - y, a zatim ovu vrijednost y zamijenite drugom jednadžbom da biste dobili 2 (4 - y) - 3y = 3. Ova jednadžba pojednostavljuje na -5y = -5 ili y = 1. Priključite ovu vrijednost u drugu jednadžbu da biste pronašli vrijednost x: x + 1 = 4 ili x = 3.
Eliminacija
Eliminacija je drugi način rješavanja sustava jednadžbi prepisivanjem jedne od jednadžbi u smislu samo jedne varijable. Metoda eliminacije to postiže dodavanjem ili oduzimanjem jednadžbi jedna od druge kako bi se poništila jedna od varijabli. Na primjer, dodavanjem jednadžbi x + 2y = 3 i 2x - 2y = 3 dobije se nova jednadžba, 3x = 6 (imajte na umu da su pojmovi y poništeni). Tada se sustav rješava istim metodama kao i za zamjenu. Ako je nemoguće poništiti varijable u jednadžbama, trebat će pomnožiti cijelu jednadžbu s faktorom kako bi se koeficijenti poklopili.
Proširena matrica
Proširene matrice također se mogu koristiti za rješavanje sustava jednadžbi. Proširena matrica sastoji se od redaka za svaku jednadžbu, stupaca za svaku varijablu i proširenog stupca koji sadrži konstantni pojam s druge strane jednadžbe. Na primjer, proširena matrica za sustav jednadžbi 2x + y = 4, 2x - y = 0 je [[2 1], [2 -1]... [4, 0]].
Utvrđivanje rješenja
Sljedeći korak uključuje upotrebu elementarnih operacija redaka kao što je množenje ili dijeljenje retka konstantom koja nije nula i zbrajanje ili oduzimanje redaka. Cilj ovih operacija je pretvoriti matricu u oblik ešalona reda, u kojem je prvi unos koji nije nula u svakom retku unosi 1, iznad i ispod ovog unosa nalaze se sve nule, a prvi unos koji nije nula za svaki redak uvijek je desno od svih takvih unosa u redovima iznad toga. Redni ešalonski oblik za gornju matricu je [[1 0], [0 1]... [1, 2]]. Vrijednost prve varijable daje prvi redak (1x + 0y = 1 ili x = 1). Vrijednost druge varijable daje drugi redak (0x + 1y = 2 ili y = 2).
Prijave
Zamjena i eliminacija jednostavnije su metode rješavanja jednadžbi i koriste se puno češće od proširenih matrica u osnovnoj algebri. Metoda supstitucije posebno je korisna kada je jedna od varijabli već izolirana u jednoj od jednadžbi. Metoda eliminacije korisna je kada je koeficijent jedne od varijabli jednak (ili njezin negativni ekvivalent) u svim jednadžbama. Primarna prednost proširenih matrica je što se može koristiti za rješavanje sustava od tri ili više jednadžbi u situacijama kada su supstitucija ili eliminacija ili neizvedive ili nemoguće.