Algebra često uključuje pojednostavljivanje izraza, ali neki su izrazi zbunjujući od drugih. Složeni brojevi uključuju količinu poznatu kaoja, "zamišljeni" broj sa svojstvomja= √−1. Ako morate jednostavno izraz koji uključuje složeni broj, mogao bi izgledati zastrašujuće, ali to je prilično jednostavan postupak nakon što naučite osnovna pravila.
TL; DR (predugo; Nisam pročitao)
Pojednostavite kompleksne brojeve slijedeći pravila algebre s kompleksnim brojevima.
Što je složeni broj?
Složeni brojevi definirani su njihovim uključivanjemjapojam, što je kvadratni korijen iz minus jedan. U matematici na osnovnoj razini kvadratni korijeni negativnih brojeva zapravo ne postoje, ali povremeno se pojavljuju u problemima algebre. Opći oblik složenog broja pokazuje njihovu strukturu:
z = a + bi
Gdjezoznačava složeni broj,apredstavlja bilo koji broj (koji se naziva "stvarni" dio) ibpredstavlja drugi broj (koji se naziva "zamišljeni" dio), a oba mogu biti pozitivna ili negativna. Dakle, primjer složenog broja je:
z = 2 −4i
Budući da se svi kvadratni korijeni negativnih brojeva mogu predstaviti višekratnicima odja, ovo je oblik za sve složene brojeve. Tehnički, redoviti broj samo opisuje poseban slučaj složenog broja gdjeb= 0, pa bi se svi brojevi mogli smatrati složenima.
Osnovna pravila za algebru sa složenim brojevima
Da biste zbrajali i oduzimali složene brojeve, jednostavno dodajte ili oduzmite stvarni i zamišljeni dio zasebno. Dakle, za složene brojevez = 2 – 4jaiw = 3 + 5ja, zbroj je:
\ započeti {poravnato} z + w & = (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ & = (2 + 3) + (-4 + 5) i \\ & = 5 + 1i \\ & = 5 + i \ end {usklađeno}
Oduzimanje brojeva djeluje na isti način:
\ početak {poravnato} z- w & = (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ & = (2 - 3) + (-4 - 5) i \\ & = -1 -9i \ end {poravnato }
Množenje je još jedna jednostavna operacija s složenim brojevima, jer djeluje poput običnog množenja, samo što to morate upamtitija2 = −1. Dakle, za izračun 3ja × −4ja:
3i × -4i = -12i ^ 2
Ali budući daja2= -1, tada:
-12i ^ 2 = -12 × -1 = 12
S punim kompleksnim brojevima (pomoćuz = 2 – 4jaiw = 3 + 5jaopet), množite ih na isti način kao i običnim brojevima poput (a + b) (c + d), koristeći metodu "prva, unutarnja, vanjska, posljednja" (FOIL), da se (a + b) (c + d) = ak + prije Krista + oglas + bd. Sve čega se morate sjetiti je pojednostaviti sve slučajeveja2. Tako na primjer:
\ početak {poravnato} z × w & = (2 -4i) (3 + 5i) \\ & = (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ & = 6 -12i + 10i - 20i ^ 2 \\ & = 6 -2i + 20 \\ & = 26 + 2i \ kraj {poravnato}
Dijeljenje složenih brojeva
Dijeljenje kompleksnih brojeva uključuje množenje brojnika i nazivnika razlomka složenim konjugatom nazivnika. Složeni konjugat samo znači inačicu kompleksnog broja s zamišljenim dijelom obrnutim u znak. Tako zaz = 2 – 4ja, složeni konjugatz = 2 + 4ja, i zaw = 3 + 5ja, w = 3 −5ja. Za problem:
\ frac {z} {w} = \ frac {2 -4i} {3 + 5i}
Potreban konjugat jew*. Podijelite brojilac i nazivnik tako da daju:
\ frac {z} {w} = \ frac {(2 -4i) (3 -5i)} {(3 + 5i) (3-5i)}
I onda razradite kao u prethodnom odjeljku. Brojilac daje:
\ početak {poravnato} (2 -4i) (3 -5i) & = 6 -12i- 10i + 20i ^ 2 \\ & = -14-22i \ kraj {poravnato}
A nazivnik daje:
\ početak {poravnato} (3 + 5i) (3-5i) & = 9 + 15i - 15i -25i ^ 2 \\ & = 9 + 25 \\ & = 34 \ kraj {poravnato}
To znači:
\ početak {poravnato} \ frac {z} {w} & = \ frac {-14 - 22i} {34} \\ \, \\ & = \ frac {-14} {34} - \ frac {22i} { 34} \\ \, \\ & = \ frac {-7} {17} - \ frac {11i} {17} \ kraj {poravnato}
Pojednostavljivanje složenih brojeva
Koristite gornja pravila prema potrebi za pojednostavljivanje složenih izraza. Na primjer:
z = \ frac {(4 + 2i) + (2 -i)} {(2 + 2i) (2+ i)}
To se može pojednostaviti upotrebom pravila zbrajanja u brojniku, pravila množenja u nazivniku, a zatim dovršavanjem dijeljenja. Za brojnik:
(4 + 2i) + (2 - i) = 6 + i
Za nazivnik:
\ početak {poravnato} (2 + 2i) (2+ i) & = 4 + 4i + 2i + 2i ^ 2 \\ & = (4 -2) + 6i \\ & = 2 + 6i \ kraj {poravnato}
Vraćanje ovih na mjesto daje:
z = \ frac {6 + i} {2 + 6i}
Množenje oba dijela konjugatom nazivnika dovodi do:
\ početak {poravnato} z & = \ frac {(6 + i) (2 - 6i)} {(2 + 6i) (2 -6i)} \\ \, \\ & = \ frac {12 + 2i -36i -6i ^ 2} {4 + 12i -12i -36i ^ 2} \\ \, \\ & = \ frac {18 - 34i} {40} \\ \, \\ & = \ frac {9 - 17i} {20} \\ \, \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ kraj {poravnato}
Dakle, ovo značizpojednostavljuje na sljedeći način:
\ početak {poravnato} z & = \ frac {(4 + 2i) + (2 - i)} {(2 + 2i) (2+ i)} \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ kraj {poravnato}
