Ako se slučajno nalazite blizu prozora i imate pogled na van, primijetite li snažnu prisutnost krugova? Opisu odgovaraju automobilske, kamionske i biciklističke gume, navlake za rupe na ulicama i nekoliko drugih cjelina koje je čovjek stvorio. Mnogo drugih stvari, poput automatskih prednjih svjetala i raznih elemenata arhitekture, "okrugle su", ako ne upravo kružne.
U prirodnom i matematičkom svijetu dvodimenzionalni krugovi i njihovi pandani u trodimenzionalnom prostoru, sfere, poprimaju vrhunsku važnost. Napokon, sama Zemlja, zajedno s većinom drugih nebeskih tijela, otprilike je sferna i na presjeku tvori krug ili disk.
Udaljenost oko bilo kojeg kruga može se odrediti prema saznanju koliko je krug širok, i ovo naizgled tajno promatranje pronalazi svoj put u iznenađujući broj fizičkih i inženjerskih problema, velikim dijelom zahvaljujući poznatoj matematičkoj konstanti π ("pi").
Osnovne definicije kruga
Da biste oblikovali krug, krenite od bilo koje točke A na ravnini ili ravnoj površini i pomičite se u zadanom smjeru u ravnoj liniji dok vam se ne zaustavi (točka r). Zatim skrenite lijevo ili desno i hodajte dok se ne vratite na svoju prvu stajališnu točku (r), držeći udaljenost između sebe i svoje izvorne početne točke (A) potpuno jednakom tijekom cijelog vremena.
Upravo ste pronašli opseg C vašeg novonastalog kruga. Udaljenost koju ste prevalili od središta kruga A do ruba kružnice r je polumjer r, a najudaljenija udaljenost kruga je promjer D, jednako 2r. Svi su krugovi istog oblika, ali naravno ne nužno iste veličine.
Ako netko koristi izraz "duljina kruga", pokušajte dobiti pojašnjenje; ovo bi moglo značiti duljinu preko širina kruga (promjer) ili neki drugi dio kruga (tetiva), ili to može značiti duljinu cijelog puta oko krug (opseg).
Površina i opseg kruga
Sada ćete dobiti uvod u konstantu π, grčko slovo pi. Ovo je iracionalan broj ili decimalni broj koji nikada ne završava i ne može se točno izraziti kao razlomak. Međutim, za većinu svrha razlomak 22/7, ili oko 3,14286, dovoljno je blizu za upotrebu u izračunima na neinženjerskoj razini.
Opseg i promjer kruga povezani su odnosom C = 2πr, a produženjem odnosom C = πD. Dakle, poznavanje radijusa kruga omogućuje vam izračunavanje njegovog opsega i obrnuto.
Površina kruga također je povezana s radijusom (ili promjerom, ako želite) pomoću konstante π, s površinom A = πr2. To znači da biste, ako želite površinu izraziti opsegom, riješili jednadžbu C = 2πr i zamijenili:
r = C / 2π
A = π (C / 2π)2
A = C2/4π
Područje i obujam sfere
Budući da ste ovdje, možda biste i bacili pogled na ljestve pravilnih geometrijskih figura u trodimenzionalni prostor. Ako imate opseg kugle (tj. Udaljenost oko njezine najšire točke, poput ekvatora koji kruži oko globusa Zemlje), možete izračunati njegov radijus, a zatim možete upotrijebiti r da biste izračunali površinu i volumen sfera:
Asfera = 4πr2
Vsfera = (4/3) πr3
Promjer kalkulatora kruga
Pomoću mrežnog alata poput onog koji se nalazi u Resursima možete eksperimentirati s različitim ulazima kruga (radijus, promjer, opseg, površina) kako biste vidjeli što se događa s izlazima. Konkretno, obratite pažnju na to kako se površina i opseg mijenjaju jednakom promjenom radijusa u koraku.
Što se brže povećava kao funkcija r, površine A ili opsega C? Zašto ste matematički odabrali svoj odgovor?