Rješavanje misterija elektromagnetizma bilo je jedno od najvećih postignuća fizike do danas, a naučene lekcije u potpunosti su sadržane u Maxwellovim jednadžbama.
James Clerk Maxwell daje ime ovim četirima elegantnim jednadžbama, ali one su vrhunac desetljeća rada mnogih fizičara, uključujući Michaela Faradaya, Andre-Marie Ampere i Carla Friedricha Gaussa - koji daju imena tri od četiri jednadžbe - i mnoge drugi. Iako je sam Maxwell samo dodao izraz u jednu od četiri jednadžbe, imao je predviđanja i razumijevanja za to prikupiti najbolje od posla koji je obavljen na toj temi i predstaviti ih na način koji još uvijek koristi fizičari danas.
Mnogo, mnogo godina fizičari su vjerovali da su elektricitet i magnetizam zasebne sile i različiti fenomeni. Ali kroz eksperimentalni rad ljudi poput Faradaya postajalo je sve jasnije da su oni zapravo dvije strane svijeta isti fenomen, a Maxwellove jednadžbe predstavljaju ovu jedinstvenu sliku koja i danas vrijedi jednako kao i 19. stoljeća stoljeću. Ako ćete studirati fiziku na višim razinama, apsolutno morate znati Maxwellove jednadžbe i kako ih koristiti.
Maxwellove jednadžbe
Maxwellove jednadžbe su kako u diferencijalnom obliku tako i u integralnom obliku kako slijedi. (Imajte na umu da iako je znanje o diferencijalnim jednadžbama ovdje korisno, konceptualno razumijevanje moguće je i bez njega.)
Gaussov zakon za električnu energiju
Diferencijalni oblik:
\ bm {∇ ∙ E} = \ frac {ρ} {ε_0}
Integralni oblik:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Nema monopolskog zakona / Gaussov zakon za magnetizam
Diferencijalni oblik:
\ bm {∇ ∙ B} = 0
Integralni oblik:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {A} = 0
Faradayev zakon indukcije
Diferencijalni oblik:
\ bm {∇ × E} = - \ frac {∂ \ bm {B}} {∂t}
Integralni oblik:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
Ampere-Maxwellov zakon / Ampereov zakon
Diferencijalni oblik:
\ bm {∇ × B} = \ frac {J} {ε_0 c ^ 2} + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂E} {∂t}
Integralni oblik:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Simboli korišteni u Maxwellovim jednadžbama
Maxwellove jednadžbe koriste prilično velik izbor simbola, a važno je da razumijete što to znače ako ćete ih naučiti primjenjivati. Dakle, ovdje je prikaz značenja korištenih simbola:
B= magnetsko polje
E= električno polje
ρ= gustoća električnog naboja
ε0= permitivnost slobodnog prostora = 8.854 × 10-12 m-3 kg-1 s4 A2
q= ukupni električni naboj (neto zbroj pozitivnih i negativnih naboja)
𝜙B = magnetski tok
J= gustoća struje
Ja= električna struja
c= brzina svjetlosti = 2.998 × 108 m / s
μ0 = propusnost slobodnog prostora = 4π × 10−7 N / A2
Uz to, važno je znati da je operator del operator, točka između dvije veličine (x ∙ Y) prikazuje skalarni proizvod, podebljani simbol množenja između dvije veličine je vektorski proizvod (x × Y), da se del operater s točkom naziva "divergencija" (npr. ∇ ∙ x= divergencijax= divx), a del operator sa skalarnim proizvodom naziva se curl (npr. ∇× Y= uvojak odY= uvojakY). Napokon,Au dAznači površina zatvorene površine za koju računate (ponekad zapisano kao dS) isu dsje vrlo mali dio granice otvorene površine za koju računate (iako je to ponekad dl, koji se odnosi na beskonačno malu linijsku komponentu).
Izvođenje jednadžbi
Prva jednadžba Maxwellovih jednadžbi je Gaussov zakon i ona navodi da je neto električni tok kroz a zatvorena površina jednaka je ukupnom naboju sadržanom u obliku podijeljenom s propusnošću slobodnog prostor. Ovaj zakon može se izvesti iz Coulomb-ovog zakona, nakon što je poduzeo važan korak u izražavanju Coulomb-ovog zakona u smislu električnog polja i učinka koji bi imao na probni naboj.
Druga Maxwellova jednadžba u biti je ekvivalentna izjavi da "ne postoje magnetski monopoli". Kaže da će neto magnetski tok kroz zatvorenu površinu uvijek biti 0, jer su magnetska polja uvijek rezultat a dipol. Zakon se može izvesti iz zakona Biot-Savart, koji opisuje magnetsko polje koje stvara trenutni element.
Treća jednadžba - Faradayev zakon indukcije - opisuje kako promjenjivo magnetsko polje stvara napon u petlji žice ili vodiča. Izvorno je izveden iz pokusa. Međutim, s obzirom na rezultat da promjenjivi magnetski tok inducira elektromotornu silu (EMF ili napon) i time električnu struju u petlje žice, a činjenicu da je EMP definiran kao linijski integral električnog polja oko kruga, zakon je lako postaviti zajedno.
Četvrta i zadnja jednadžba, Ampereov zakon (ili Ampere-Maxwellov zakon koji mu daje priznanje za njegovo doprinos) opisuje kako magnetsko polje nastaje pokretnim nabojem ili promjenjivim električnim polje. Zakon je rezultat eksperimenta (i tako - kao i sve Maxwellove jednadžbe - zapravo nije bio "izveden" u tradicionalnom smislu), većStokesov teoremvažan je korak u postizanju osnovnog rezultata u današnjoj formi.
Primjeri Maxwellovih jednadžbi: Gaussov zakon
Da budem iskren, pogotovo ako niste točno u svojem vektorskom računu, Maxwellove jednadžbe izgledaju prilično zastrašujuće unatoč tome što su sve relativno kompaktne. Najbolji način da ih stvarno razumijete je proći nekoliko primjera njihove upotrebe u praksi, a Gaussov zakon najbolje je mjesto za početak. Gaussov zakon u osnovi je temeljnija jednadžba koja obavlja posao Coulombovog zakona, i to je prilično je lako iz njega izvesti Coulombov zakon uzimajući u obzir električno polje proizvedeno točkom naplatiti.
Pozivanje naplateq, ključna točka za primjenu Gaussova zakona je odabir prave "površine" za ispitivanje električnog toka. U ovom slučaju dobro djeluje kugla koja ima površinuA = 4πr2, jer kuglu možete centrirati na točkasti naboj. To je ogromna korist za rješavanje ovakvih problema jer tada ne trebate integrirati različito polje po površini; polje će biti simetrično oko točkastog naboja i tako će biti konstantno na površini kugle. Dakle, integralni oblik:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Može se izraziti kao:
E × 4πr ^ 2 = \ frac {q} {ε_0}
Imajte na umu daEjer je električno polje zamijenjeno jednostavnom veličinom, jer će se polje od točkastih naboja jednostavno raširiti jednako u svim smjerovima od izvora. Sada, dijeljenjem kroz površinu kugle daje se:
E = \ frac {q} {4πε_0r ^ 2}
Budući da je sila povezana s električnim poljem zaE = F/q, gdjeqje test punjenje,F = qE, i tako:
F = \ frac {q_1q_2} {4πε_0r ^ 2}
Gdje su pretplate dodane kako bi se razlikovale dvije naknade. Ovo je Coulombov zakon naveden u standardnom obliku, pokazao se jednostavnom posljedicom Gaussova zakona.
Primjeri Maxwellovih jednadžbi: Faradayev zakon
Faradayev zakon omogućuje vam izračunavanje elektromotorne sile u petlji žice koja je rezultat promjenjivog magnetskog polja. Jednostavan primjer je petlja od žice s radijusomr= 20 cm, u magnetskom polju koje raste magnitude odBja = 1 T doBf = 10 T u prostoru ∆t= 5 s - koliki je inducirani EMP u ovom slučaju? Integralni oblik zakona uključuje promjenu:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
koji se definira kao:
ϕ = BA \ cos (θ)
Ključni dio problema ovdje je pronalaženje brzine promjene fluksa, ali budući da je problem prilično jednostavan, možete zamijeniti djelomični derivat jednostavnom "promjenom" svake veličine. A integral zapravo znači samo elektromotornu silu, tako da Faradayev zakon indukcije možete prepisati kao:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA \ cos (θ)} {∆t}
Ako pretpostavimo da je petlja žice u svojoj normali poravnata s magnetskim poljem,θ= 0 ° pa je cos (θ) = 1. Ovo ostavlja:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA} {∆t}
Tada se problem može riješiti pronalaženjem razlike između početnog i završnog magnetskog polja i područja petlje, kako slijedi:
\ početak {poravnano \ text {EMF} & = - \ frac {∆BA} {∆t} \\ & = - \ frac {(B_f - B_i) × πr ^ 2} {∆t} \\ & = - \ frac {(10 \ text {T} - 1 \ text {T}) × π × (0,2 \ text {m}) ^ 2} {5 \ text {s}} \\ & = - 0,23 \ text {V } \ kraj {poravnato}
Ovo je samo mali napon, ali Faradayev zakon primjenjuje se na isti način bez obzira.
Primjeri Maxwellovih jednadžbi: Ampere-Maxwellov zakon
Ampere-Maxwellov zakon konačna je Maxwellova jednadžba koju ćete trebati redovito primjenjivati. Jednadžba se vraća na Amperov zakon u nedostatku promjenjivog električnog polja, pa je ovo najlakši primjer za razmatranje. Pomoću nje možete izvesti jednadžbu za magnetsko polje koje je rezultat ravne žice koja nosi strujuJa, a ovaj osnovni primjer dovoljan je da pokaže kako se koristi jednadžba. Puni zakon glasi:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Ali bez promjene električnog polja smanjuje se na:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I
Kao i kod Gaussova zakona, ako za površinu odaberete krug, usredotočen na petlju žice, intuicija sugerira da rezultirajuće magnetsko polje bit će simetričan, pa integral možete zamijeniti jednostavnim umnoškom opsega petlje i jakosti magnetskog polja, odlazak:
B × 2πr = μ_0 I
Dijeljenje kroz sa 2πrdaje:
B = \ frac {μ_0 I} {2πr}
Što je prihvaćeni izraz za magnetsko polje na daljinurkoji proizlaze iz ravne žice koja nosi struju.
Elektromagnetski valovi
Kad je Maxwell sastavio svoj skup jednadžbi, počeo je iznalaziti rješenja za njihovo objašnjavanje različitih pojave u stvarnom svijetu, a uvid koji je dao u svjetlost jedan je od najvažnijih rezultata dobiveni.
Budući da promjenjivo električno polje generira magnetsko polje (po Ampereovom zakonu), a mijenja magnetsko polje električno polje (po Faradayevom zakonu), Maxwell je utvrdio da bi samoregnirajući elektromagnetski val mogao biti moguće. Pomoću svojih jednadžbi pronašao je valnu jednadžbu koja bi opisala takav val i odredio da će putovati brzinom svjetlosti. Ovo je bio svojevrsni trenutak "eureke"; shvatio je da je svjetlost oblik elektromagnetskog zračenja, djelujući baš poput polja koje je zamislio!
Elektromagnetski val sastoji se od vala električnog polja i vala magnetskog polja koji osciliraju naprijed-natrag, međusobno poravnati pod pravim kutom. Njihanje električnog dijela vala generira magnetsko polje, a osciliranje ovog dijela opet stvara električno polje, neprestano dok putuje kroz prostor.
Kao i svaki drugi val, i elektromagnetski val ima frekvenciju i valnu duljinu, a njihov je umnožak uvijek jednakc, brzina svjetlosti. Elektromagnetski valovi su svugdje oko nas, a osim vidljive svjetlosti, i druge valne duljine obično se nazivaju radio valovima, mikrovalnim pećnicama, infracrvenim, ultraljubičastim, rentgenskim i gama zrakama. Svi ovi oblici elektromagnetskog zračenja imaju isti osnovni oblik kao što je objašnjeno Maxwellovim jednadžbama, ali njihove energije variraju s frekvencijom (tj. Veća frekvencija znači veću energiju).
Dakle, za fizičara je Maxwell rekao: "Neka bude svjetlost!"
