Integriranje funkcija jedna je od glavnih primjena računa. Ponekad je to jednostavno, kao u:
F (x) = \ int (x ^ 3 + 8) dx
U relativno kompliciranom primjeru ove vrste možete upotrijebiti verziju osnovne formule za integraciju neodređenih integrala:
\ int (x ^ n + A) dx = \ frac {x ^ {(n + 1)}} {n + 1} + Ax + C
gdjeAiCsu konstante.
Tako za ovaj primjer,
\ int x ^ 3 + 8 = \ frac {x ^ 4} {4} + 8x + C
Integracija osnovnih funkcija kvadratnog korijena
Na površini je integriranje funkcije kvadratnog korijena neugodno. Na primjer, mogu vas sramiti:
F (x) = \ int \ sqrt {(x ^ 3) + 2x - 7} dx
Ali kvadratni korijen možete izraziti kao eksponent 1/2:
\ sqrt {x ^ 3} = x ^ {3 (1/2)} = x ^ {(3/2)}
Integral stoga postaje:
\ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx
na koju odozgo možete primijeniti uobičajenu formulu:
\ početak {poravnato} \ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx & = \ frac {x ^ {(5/2)}} {5/2} + 2 \ bigg (\ frac {x ^ 2} {2} \ bigg) - 7x \\ & = \ frac {2} {5} x ^ {(5/2)} + x ^ 2 - 7x \ kraj {poravnato}
Integracija složenijih funkcija kvadratnog korijena
Ponekad možete imati više izraza pod radikalnim predznakom, kao u ovom primjeru:
F (x) = \ int \ frac {x + 1} {\ sqrt {x - 3}} dx
Možeš koristitiu-supstitucija za nastavak. Evo, postavili steujednaka količini u nazivniku:
u = \ sqrt {x - 3}
Riješi ovo zaxkvadracijom obje strane i oduzimanjem:
u ^ 2 = x - 3 \\ x = u ^ 2 + 3
To vam omogućuje da dobijete dx u smisluuuzimanjem izvedenice odx:
dx = (2u) du
Zamjena natrag u izvorni integral daje
\ početak {poravnato} F (x) & = \ int \ frac {u ^ 2 + 3 + 1} {u} (2u) du \\ & = \ int \ frac {2u ^ 3 + 6u + 2u} {u } du \\ & = \ int (2u ^ 2 + 8) du \ end {poravnato}
Sada to možete integrirati pomoću osnovne formule i izražavanjauu smislux:
\ početak {poravnato} \ int (2u ^ 2 + 8) du & = \ frac {2} {3} u ^ 3 + 8u + C \\ & = \ frac {2} {3} (\ sqrt {x - 3}) ^ 3 + 8 (\ sqrt {x - 3}) + C \\ & = \ frac {2} {3} (x - 3) ^ {(3/2)} + 8 (x - 3) ^ {(1/2)} + C \ kraj {poravnato}