U matematici je recipročna vrijednost broja onaj broj koji, pomnožen s izvornim brojem, daje 1. Na primjer, recipročna vrijednost za varijablu x je 1 /x, jer
x × \ frac {1} {x} = \ frac {x} {x} = 1
U ovom primjeru 1 /xje uzajamni identitetx, i obrnuto. U trigonometriji se bilo koji od kutova koji nisu 90 stupnjeva u pravokutnom trokutu može definirati omjerima zvanim sinus, kosinus i tangenta. Primjenjujući koncept uzajamnih identiteta, matematičari definiraju još tri omjera. Njihova su imena kosekant, sekans i kotangens. Kosekant je uzajamni identitet sinusa, sekundarni identitet kosinusa i kotangens identitet tangente.
Kako odrediti uzajamne identitete
Razmotrimo kutθ, što je jedan od dva kuta koja nisu 90-stupnjeva u pravokutnom trokutu. Ako je duljina stranice trokuta nasuprot kutu "b, "duljina stranice uz kut i nasuprot hipotenuzama je"a"a duljina hipotenuze je"r, "možemo definirati tri primarna trigonometrijska omjera u smislu ovih duljina.
\ text {sinus} θ = \ sin θ = \ frac {b} {r} \\ \, \\ \ text {kosinus} θ = \ cos θ = \ frac {a} {r} \\ \, \\ \ text {tangenta} θ = \ tan θ = \ frac {b} {a} \\
Uzajamni identitet grijehaθmora biti jednako 1 / sin θ, jer je to broj koji se pomnoži s grijehomθ, proizvodi 1. Isto vrijedi i za cosθi preplanuliθ. Matematičari daju tim recipročnim imenima imena kosekant, sekans i kotangens. Po definiciji:
\ text {cosecant} θ = \ csc θ = \ frac {1} {\ sin θ} \\ \, \\ \ text {secant} θ = \ sec θ = \ frac {1} {\ cos θ} \\ \, \\ \ text {kotangens} θ = \ krevetić θ = \ frac {1} {\ tan θ}
Te međusobne identitete možete definirati u smislu duljina stranica pravokutnog trokuta kako slijedi:
\ csc θ = \ frac {r} {b} \\ \, \\ \ sec θ = \ frac {r} {a} \\ \, \\ \ cot θ = \ frac {a} {b}
Sljedeći odnosi vrijede za bilo koji kutθ:
\ sin θ × \ csc θ = 1 \\ \ cos θ × \ sec θ = 1 \\ \ tan θ × \ krevetić θ = 1
Dva druga trigonometrijska identiteta
Ako znate sinus i kosinus ugla, možete izvesti tangentu. To je istina jer
\ sin θ = \ frac {b} {r} \ text {i} \ cos θ = \ frac {a} {r} \ text {, dakle} \ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ frac {b} {r} × \ frac {r} {a} = \ frac {b} {a}
Budući da je ovo definicija tan θ, slijedi sljedeći identitet, poznat kao količnik identiteta:
\ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ tan θ \\ \, \\ \ frac {\ cos θ} {\ sin θ} = \ krevetić θ
Pitagorin identitet proizlazi iz činjenice da je za bilo koji pravokutni trokut sa stranamaaibi hipotenuzar, vrijedi sljedeće:a2 + b2 = r2. Preuređujući pojmove i definirajući omjere u smislu sinusa i kosinusa, dolazi se do sljedećeg izraza:
\ sin ^ 2 θ + \ cos ^ 2 θ = 1
Dvije druge važne veze slijede kada umetnete uzajamne identitete za sinus i kosinus u gornji izraz:
\ tan ^ 2 θ + 1 = \ sec ^ 2 θ \\ \ cot ^ 2 θ + 1 = \ csc ^ 2 θ
