Kako pronaći najveći zajednički čimbenik dva broja

Pronalaženje najvećeg zajedničkog faktora, ili GCF, dvaju brojeva korisno je u mnogim situacijama u matematici, ali posebno kada je riječ o pojednostavljivanju razlomaka. Ako se borite s tim ili tražite zajedničke nazivnike, učenje dvije metode za pronalaženje zajedničkih čimbenika pomoći će vam da postignete ono što namjeravate. Prvo je, ipak, dobro naučiti o osnovama čimbenika; onda možete pogledati dva pristupa za pronalaženje zajedničkih čimbenika. Napokon, možete pogledati kako primijeniti svoje znanje kako biste pojednostavili razlomak.

Čimbenici su brojevi koje množite zajedno da biste proizveli drugi broj. Na primjer, 2 i 3 su čimbenici 6, jer je 2 × 3 = 6. Slično tome, 3 i 3 su čimbenici 9, jer je 3 × 3 = 9. Kao što možda znate, prosti brojevi su brojevi koji nemaju druge čimbenike osim sebe i 1. Dakle, 3 je prost broj, jer su jedina dva cijela broja (cijeli brojevi) koji se mogu množiti dajući 3 kao odgovor su 3 i 1. Na isti način, 7 je prost broj, pa tako i 13.

Zbog toga je često korisno podijeliti broj na "glavne čimbenike". To znači pronaći sve čimbenike prostog broja drugog broja. U osnovi raščlanjuje broj na svoje temeljne "gradivne blokove", što je koristan korak prema pronalaženje najvećeg zajedničkog faktora dva broja, a također je neprocjenjivo kada je u pitanju pojednostavljivanje kvadrata korijenje.

Najjednostavnija metoda za pronalaženje najvećeg zajedničkog čimbenika dva broja jest jednostavno navođenje svih čimbenika svakog broja i traženje najvećeg broja koji obojica dijele. Zamislite da želite pronaći najčešći zajednički faktor 45 i 60. Prvo, pogledajte različite brojeve koje možete pomnožiti da biste dobili 45.

Najlakši način je započeti s dvoje za koje znate da će raditi, čak i za prost broj. U ovom slučaju znamo 1 × 45 = 45, pa znamo da su 1 i 45 faktori 45. Ovo su prvi i posljednji čimbenik od 45, pa ih jednostavno možete ispuniti od tamo. Dalje, utvrdite je li 2 faktor. To je lako, jer će bilo koji parni broj biti djeljiv s 2, a bilo koji neparan. Dakle, znamo da 2 nije faktor 45. Što je s 3? Morali biste uočiti da je faktor 3 45, jer 3 × 15 = 45 (uvijek možete graditi na onome što jeste znajte to riješiti, na primjer, znat ćete da je 3 × 12 = 36, a dodavanje trojki na ovo vas vodi do 45).

Dalje, je li faktor 4 45? Ne - znate 11 × 4 = 44, pa ne može biti! Dalje, što je s 5? Ovo je još jedno jednostavno, jer je bilo koji broj koji završava na 0 ili 5 djeljiv s 5. A s ovim lako možete uočiti da je 5 × 9 = 45. Ali 6 nije dobro jer 7 × 6 = 42 i 8 × 6 = 48. Iz ovoga također možete vidjeti da 7 i 8 nisu čimbenici 45. Već znamo da 9 jest, i lako je uočiti da 10 i 11 nisu faktori. Nastavite ovaj postupak i vidjet ćete da je 15 faktor, ali ništa drugo nije.

Dakle, faktori 45 su: 1, 3, 5, 9, 15 i 45.

Za 60 prolazite kroz potpuno isti postupak. Ovaj put broj je paran (pa znate da je 2 faktor) i djeljiv s 10 (dakle 5 i 10 su čimbenici), što stvari čini malo lakšima. Nakon ponovnog prolaska kroz postupak trebali biste vidjeti da su čimbenici 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 i 60.

Usporedba dvaju popisa pokazuje da je 15 najveći zajednički faktor od 45 i 60. Ova metoda može biti dugotrajna, ali jednostavna je i uvijek će raditi. Također možete započeti s bilo kojim visokim zajedničkim faktorom koji možete odmah uočiti, a zatim jednostavno potražite više faktore svakog broja.

Druga metoda za pronalaženje GCF-a za dva broja jest uporaba glavnih faktora. Proces faktorizacije premijera malo je lakši i strukturiraniji od pronalaska svakog čimbenika. Prođimo kroz postupak za 42 i 63.

Proces faktorizacije prostih brojeva u osnovi uključuje razbijanje broja dok vam ne ostanu samo prosti brojevi. Najbolje je započeti s najmanjim početnim brojem (dva) i raditi od tamo. Dakle, za 42 je lako vidjeti da je 2 × 21 = 42. Zatim radite od 21: Je li faktor 2? Ne. Je li 3? Da! 3 × 7 = 21, a 3 i 7 su i prosti brojevi. To znači da su glavni čimbenici 42 2, 3 i 7. Prvi "break" iskoristio je 2 da bi došao do 21, a drugi je to razbio na 3 i 7. To možete provjeriti množenjem svih svojih čimbenika i provjerom dobivate li izvorni broj: 2 × 3 × 7 = 42.

Za 63, 2 nije faktor, ali 3 jest, jer 3 × 21 = 63. Opet, 21 se dijeli na 3 i 7 - oba glavna - tako da znate glavne čimbenike! Provjera pokazuje da je 3 × 3 × 7 = 63, prema potrebi.

Najviši zajednički faktor pronalazite promatrajući koji su glavni faktori dva broja zajednički. U ovom slučaju, 42 ima 2, 3 i 7, a 63 ima 3, 3 i 7. Zajedničko im je 3 i 7. Da biste pronašli najviši zajednički faktor, pomnožite sve zajedničke osnovne faktore zajedno. U ovom je slučaju 3 × 7 = 21, pa je 21 najveći zajednički faktor 42 i 63.

Prethodni se primjer i na ovaj način može brže riješiti. Budući da je 45 djeljivo s tri (3 × 15 = 45), a 15 je također djeljivo s tri (3 × 5 = 15), glavni faktori 45 su 3, 3 i 5. Za 60 je djeljivo s dva (2 × 30 = 60), 30 je djeljivo i s dva (2 × 15 = 30), a zatim vam ostaje 15, za koje znamo da su tri i pet kao glavni čimbenici, ostavljajući 2, 2, 3 i 5. Uspoređujući dva popisa, tri i pet su uobičajeni glavni čimbenici, pa je najveći zajednički faktor 3 × 5 = 15.

U slučaju da postoje tri ili više uobičajenih glavnih čimbenika, množite ih sve zajedno na isti način da biste pronašli najveći zajednički faktor.

Ako vam se predstavi razlomak poput 32/96, on može izvršiti vrlo komplicirane izračune koji slijede nakon njega, osim ako ne pronađete način za pojednostavljivanje razlomka. Pronalaženje najnižeg zajedničkog faktora 32 i 96 reći će vam broj s kojim ćete podijeliti oboje kako biste dobili jednostavniji razlomak. U ovom slučaju:

Za 96, postupak daje:

Treba biti jasno da 2⁵ = 32 je najčešći zajednički faktor. Dijeljenjem oba dijela razlomka sa 32 dobiva se:

Pronalaženje zajedničkih nazivnika sličan je postupak. Zamislite da ste morali zbrojiti razlomke 15/45 i 40/60. Iz prvog primjera znamo da je 15 najčešći zajednički faktor od 45 i 60, pa ih možemo odmah izraziti kao 5/15 i 10/15. Budući da je 3 × 5 = 15, a oba su brojnika također djeljiva s pet, možemo podijeliti oba dijela oba razlomka s pet da bismo dobili 1/3 i 2/3. Sada ih je puno lakše dodati i vidjeti