Logično je pretvoriti kut (ø) u udaljenost (d) kada je udaljenost na opsegu kruga ili na površini kugle. U tom slučaju upotrijebite jednadžbu ø = d / r - gdje je r polumjer kružnice ili kugle. To daje vrijednost u radijanima, koju je lako pretvoriti u stupnjeve. Ako znate kut u stupnjevima i želite pronaći duljinu luka, pretvorite kut u radijane, a zatim upotrijebite obrnuti izraz: d = ø • r. Da biste dobili udaljenost u engleskim jedinicama, morate izraziti radijus u engleskim jedinicama. Slično tome, morate izraziti radijus u metričkim jedinicama da biste dobili udaljenost u kilometrima, metrima, centimetrima ili milimetrima.
Mjerni kutovi u radijanima
Radijan je kutno mjerenje na temelju duljine polumjera kruga ili kugle. Polumjer je linija povučena od središta kruga do točke A na njezinu opsegu ili na obodu ako je kugla. Kad se radijalna crta pomiče iz točke A u drugu točku B na opsegu, ona prati luk duljine d, istodobno ispisujući kut ø u središnjoj točki kruga.
Po definiciji, jedan radijan je kut koji zapisujete kada je duljina luka od točke A do točke B jednaka duljini polumjera. Općenito, veličinu bilo kojeg kuta ø u radijanima određujete dijeljenjem duljine luka praćenog radijanima između dviju točaka radijusa. Ovo je matematički izraz: ø (radijani) = d / r. Da bi ovaj izraz radio, morate izraziti duljinu i radijus luka u istim jedinicama.
Na primjer, pretpostavimo da želite odrediti kut luka koji se prati radijalnim linijama koji se protežu od središta zemlje do San Francisca i New Yorka. Ova su dva grada međusobno udaljena 4.139 kilometara, a ekvatorijalni radijus zemlje je 3.963 milje (6378 kilometara). Kut možemo pronaći koristeći metričke ili engleske jedinice, ukoliko ih dosljedno koristimo: 2.572 milje / 3.963 milje = 4.139 km / 6.378 km = 0.649 radijana.
Radijani do stupnjeva
Možemo izvesti jednostavan faktor za pretvaranje iz radijana u stupnjeve napominjući da krug ima 360 stupnjeva i da je opseg kruga duljine 2πr jedinica. Kad radijalna linija prati čitav krug, duljina luka je 2πr / r = 2π, a budući da linija prati kut od 360 stupnjeva, znamo da je 360 stupnjeva = 2π radijana. Podijelivši obje strane ove jednadžbe s 2, dobit ćemo:
- 180 stupnjeva = π radijana
To znači da je 1 stupanj = π / 180 radijana i 1 radijan = 180 / π stupnja.
Pretvaranje stupnjeva u duljinu luka
Trebamo jedan ključni podatak prije nego što pretvorimo stupnjeve u duljinu luka, a to je radijus kruga ili kugle na kojem mjerimo luk. Kad to jednom znamo, pretvorba je jednostavna. Evo postupka u dva koraka:
- Pretvori stupnjeve u radijane.
- Pomnožite s radijusom da biste dobili duljinu luka u istim jedinicama.
Ako znate radijus u inčima i želite duljinu luka u milimetrima, prvo morate pretvoriti radijus u milimetre.
Primjer kruga od 50 inča
U ovom primjeru želite odrediti duljinu luka - u milimetrima - na opseg kruga promjera 50 inča praćen parom linija koje čine kut od 30 stupnjeva.
- Započnite s pretvaranjem kuta u radijane. 30 stupnjeva = 30π / 180 radijana. Budući da je π jednako približno 3,14, dobivamo 0,523 radijana.
- Imajte na umu da je polumjer kruga polovica njegova promjera. U ovom slučaju, r = 25 inča.
- Pretvorite radijus u ciljne jedinice - milimetre - pomoću pretvorbe 1 inč = 25,4 milimetara. Dobivamo 25 inča = 635 milimetara.
- Pomnožite radijus s kutom u radijanima da biste dobili duljinu luka. 635mm • 0,523 radijana = 332,1 mm.