Krugovi su svugdje u stvarnom svijetu, zbog čega su njihovi radijusi, promjeri i opseg značajni u stvarnom životu. Ali postoje i drugi dijelovi krugova - na primjer, sektori i kutovi - koji također imaju važnost u svakodnevnoj primjeni. Primjeri uključuju veličine sektora kružne hrane kao što su kolači i torte, kut pređen u Ferrisovom kolu, dimenzioniranje gume za određeno vozilo i posebno dimenzioniranje prstena za zahvat ili vjenčanje. Iz ovih razloga i više, geometrija također ima jednadžbe i izračune problema koji se bave središnjim kutovima, lukovima i sektorima kružnice.
Što je središnji kut?
Središnji kut definiran je kao kut koji stvaraju dvije zrake ili polumjeri koji zrače iz središta kruga, pri čemu je središte kruga vrh središnjeg kuta. Središnji kutovi posebno su važni kada je riječ o ravnomjernom dijeljenju pizze ili bilo koje druge kružne hrane između određenog broja ljudi. Recimo da je pet ljudi na vežbalištu gdje treba podijeliti veliku pizzu i veliku tortu. Koji je kut pod kojim se moraju podijeliti i pizza i torta kako bi se osigurala jednaka kriška za sve? Budući da u krugu ima 360 stupnjeva, izračun postaje 360 stupnjeva podijeljen s 5 da bi se došlo do 72 stupnja, tako da će svaka kriška, bilo pizze ili kolača, imati središnji kut ili theta (θ), dimenzija 72 stupnjeva.
Određivanje središnjeg kuta iz duljine luka
Luk kruga odnosi se na "dio" opsega kruga. Dužina luka je dakle duljina tog "dijela". Ako zamislite krišku pizze, područje sektora može biti vizualizira se kao cijela kriška pizze, ali duljina luka je duljina vanjskog ruba kore za to određenu krišku. Iz duljine luka može se izračunati središnji kut. Doista, jedna formula koja može pomoći u određivanju središnjeg kuta navodi da su duljina luka (lukova) jednake radijusu pomnoženom sa središnjim kutom, ili
s = r × θ
gdje se kut, theta, mora mjeriti u radijanima. Dakle, da bismo riješili središnji kut, theta, treba samo podijeliti duljinu luka s radijusom, ili
\ frac {s} {r} = θ
Za ilustraciju, ako je duljina luka 5,9, a radijus 3,5329, tada središnji kut postaje 1,67 radijana. Drugi je primjer ako je duljina luka 2, a radijus 2, središnji kut postaje 1 radijan. Ako želite pretvoriti radijane u stupnjeve, sjetite se da je 1 radijan jednak 180 stupnjeva podijeljen s π ili 57,2958 stupnjeva. Suprotno tome, ako jednadžba traži pretvaranje stupnjeva natrag u radijane, prvo pomnožite s π, a zatim podijelite s 180 stupnjeva.
Određivanje središnjeg kuta iz sektorskog područja
Sljedeću korisnu formulu za određivanje središnjeg kuta pruža područje područja, koje se opet može vizualizirati kao kriška pizze. Ova se posebna formula može vidjeti na dva načina. Prva ima središnji kut izmjeren u stupnjevima tako da je površina sektora jednaka π puta veća od kvadrat polumjera, a zatim pomnožen s veličinom središnjeg kuta u stupnjevima podijeljen s 360 stupnjeva. Drugim riječima:
πr ^ 2 × \ frac {\ text {središnji kut u stupnjevima}} {360 \ text {stupnjevi}} = \ text {područje područja}
Ako se središnji kut mjeri u radijanima, formula umjesto toga postaje:
\ text {područje sektora} = r ^ 2 × \ frac {\ text {središnji kut u radijanima}} {2}
Preuređivanje formula pomoći će u rješavanju vrijednosti središnjeg kuta ili theta. Uzmimo u obzir područje sektora od 52,3 četvornih centimetara s radijusom od 10 centimetara. Koliki bi bio njegov središnji kut u stupnjevima? Izračuni bi započeli s površinom sektora od 52,3 četvornih centimetara koja je jednaka:
\ frac {θ} {360 \ text {stupnjevi}} × πr ^ 2
Budući da je polumjer (r) jednako 10, cijela jednadžba može se zapisati kao:
\ frac {52,3} {100π} × 360
tako da se theta može zapisati kao:
\ frac {52.3} {314} × 360
Tako konačni odgovor postaje središnji kut od 60 stupnjeva.