Poligon je bilo koja zatvorena dvodimenzionalna figura s 3 ili više ravnih (ne zakrivljenih) stranica, a 12-obostrani poligon poznat je kao dodekagon. Pravilni je dvanaesterokut onaj s jednakim stranicama i kutovima, a moguće je izvesti formulu za izračunavanje njegove površine. Nepravilan dvanaesterokut ima stranice različitih duljina i različitih kutova. Primjer je šesterokraka zvijezda. Ne postoji jednostavan način za izračunavanje površine nepravilnog dvanaestostranog lika, osim ako ga slučajno ucrtate u grafikon i ako ne možete pročitati koordinate svakog od vrhova. Ako ne, najbolja strategija je podijeliti lik u pravilne oblike za koje možete izračunati površinu.
Izračunavanje površine pravilnog 12-stranog mnogougla
Da biste izračunali površinu pravilnog dvanaesterokuta, morate pronaći njegovo središte, a najbolji način da to učinite je da se oko njega zapiše krug koji samo dodiruje svaki njegov vrh. Središte kruga je središte dvanaesterokuta, a udaljenost od središta lika do svakog njegovog vrha jednostavno je polumjer kruga (
r). Svaka od 12 stranica lika je iste dužine, pa to označite sas.Potrebno vam je još jedno mjerenje, a to je duljina okomite crte povučene od sredine svake strane do središta 12-stranog oblika. Ova je crta poznata kao apotema. Označimo njegovu duljinu sam. Dijeli svaki odjeljak nastao radijusnim linijama u dva pravokutna trokuta. Ne znatem, ali možete ga pronaći pomoću pitagorejskog teorema.
Linija od 12 radijusa dijeli krug koji ste ispisali oko dvanaesterokuta na 12 jednakih odjeljaka, tako da je u središtu slike kut koji svaka crta napravi s onim do njega 30 stupnjeva. Svaki od 12 presjeka formiranih radijusnim linijama sastoji se od para pravokutnih trokuta s hipotenuzomri jedan kut od 15 stupnjeva. Stranica uz kut jem, tako da ga možete pronaći pomoću r i sinusa kuta.
\ sin (15) = \ frac {m} {r} \, \ text {i riješi za} m \\ m = r × \ sin (15)
Sada možete pronaći područje svakog od jednakokračnih trokuta upisanih u dvanaesterokut, jer znate duljinu baze - koja jes- i visina,m. Površina svakog trokuta je
\ begin {align} \ text {area} & = \ frac {1} {2} × \ text {base} × \ text {height} \\ & = \ frac {1} {2} × s × m \\ & = 1/2 × (s × r × \ sin (15)) \ kraj {poravnato}
Takvih je presjeka 12, pa pomnožite s 12 da biste pronašli ukupnu površinu pravilnog 12-stranog oblika:
\ text {Područje pravilnog dvanaesterokuta} = 6 × (s × r × \ sin (15))
Pronalaženje područja nepravilnog dvanaesterokuta
Ne postoji formula za pronalaženje područja nepravilnog dvanaesterokuta, jer duljine stranica i kutovi nisu iste. Čak je teško odrediti središte. Najbolja strategija je podijeliti lik na pravilne oblike, izračunati površinu svakog od njih i dodati ih.
Ako je oblik ucrtan na grafu, a znate koordinate vrhova, postoji formula pomoću koje možete izračunati površinu. Ako svaka točka (n) definira se sa (xn, gn), a vi zaobiđite lik kako biste, bilo u smjeru kazaljke na satu ili u suprotnom smjeru, dobili niz od 12 točaka, površina je:
\ text {Područje} = \ frac {| (x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3) +... + (x_ {11} y_ {12} - y_ {11} x_ {12}) + (x_ {12} y_1 - y_ {12} x_1) |} {2}