Implicitna diferencijacija tehnika je koja se koristi za određivanje izvoda funkcije u obliku y = f (x).
Da bismo naučili kako se koristiti implicitnom diferencijacijom, možemo koristiti metodu na jednostavnom primjeru, a zatim istražiti neke složenije slučajeve.
Implicitna diferencijacija je samo diferencijacija
Iako zvuči složenije, implicitna diferencijacija koristi sve iste matematike i vještine kao osnovna diferencijacija. Važno je napomenuti da se naša ovisna varijabla sada pojavljuje u samoj funkciji.
Uzmite jednostavnu jednadžbu kao što je xy = 1. Postoje dva načina za pronalazak izvedenice od g s poštovanjem x, ili dy / dx. Prvo, jednostavno možemo riješiti problem g u jednadžbi i upotrijebite pravilo snage za izvode. To bi rezultiralo: y = 1 / x. Primjena pravila snage mogla bi dakle otkriti da je dy / dx = -1 / x2.
Ovaj problem možemo učiniti i pomoću implicitne diferencijacije. Srećom, odgovor već znamo (trebao bi biti isti bez obzira na to kako ga izračunavamo), pa možemo provjeriti svoj rad!
Za početak primijeni izvedenicu na obje strane jednadžbe xy = 1. Tada je d / dx (xy) = d / dx (1); očito je desna strana sada jednaka 0, ali lijeva strana zahtijeva pravilo lanca. To je zato što uzimamo izvod naše funkcije, g, dok se množi na drugi faktor x. Da bismo to izračunali: d / dx (x) y + x (d / dx (y)) = y + xy '. Upotrijebit ćemo osnovni zapis da označimo izvedenicu s obzirom na x.
Prepisivanjem naše jednadžbe dobivamo: y + xy '= 0. Vrijeme je za rješavanje y ' u našoj jednadžbi! Jasno je da je y '= -y / x. No, koristeći izvorne informacije, znamo da je y = 1 / x, pa to možemo vratiti natrag. Jednom kad to učinimo, vidimo da je y '= -1 / x2, baš kao što smo i prije pronašli.
Implicitna diferencijacija kako bi se utvrdio derivat grijeha (xy)
Da bismo odredili izvod y = sin (xy), poslužit ćemo se implicitnom diferencijacijom sjećajući se da je (d / dx) y = y '.
Prvo primijenite izvedenicu na obje strane jednadžbe: d / dx (y) = d / dx (sin (xy)). Lijeva strana jednadžbe je jasno y ', što je ono što ćemo morati riješiti, ali desna strana zahtijevat će malo posla; konkretno, pravilo lanca i pravilo proizvoda. Prvo, pravilo lanca treba primijeniti na sin (xy), a zatim pravilo proizvoda za argument xy. Srećom već smo izračunali ovo pravilo proizvoda.
Dalje, pojednostavljenjem ovoga dobivamo: y '= cos (xy) (y + xy').
Jasno je da ovu jednadžbu treba riješiti y ' kako bi se utvrdilo kako y ' povezano je sa x i g.
Sve pojmove izolirajte s y ' s jedne strane: y '- xy'cos (xy) = ycos (xy).
Zatim odvojite y ' da se dobije: y '(1 - xcos (xy)) = ycos (xy).
Sada vidimo da je y '= ycos (xy) / (1-xcos (xy)).
Moglo bi biti potrebno daljnje pojednostavljenje, ali budući da je naša funkcija rekurzivno definirana, uključivanje y = sin (xy) vjerojatno neće dati zadovoljavajuće rješenje. U ovom slučaju može biti korisno više informacija ili sofisticiranija metoda za crtanje ovih jednadžbi.
Opći koraci za implicitnu diferencijaciju
Prvo, sjetite se da se implicitna diferencijacija oslanja na to da je jedna od varijabli u funkciji druge. Obično funkcije vidimo kao y = f (x), ali moglo bi se napisati funkciju x = f (y). Budite oprezni kada pristupate tim problemima kako biste utvrdili koja varijabla ovisi o drugoj.
Dalje, ne zaboravite pažljivo primijeniti pravila izvedenice. Implicitna diferencijacija vrlo često će zahtijevati pravilo lanca, kao i pravilo proizvoda i pravilo količnika. Ispravna primjena ovih metoda bit će presudna za utvrđivanje konačnog odgovora.
Na kraju, riješite željeni derivat izolirajući ga i maksimalno pojednostavljujući izraze.