Sposobnost izračunavanja prosječne ili srednje vrijednosti skupine brojeva važna je u svakom aspektu života. Ako ste profesor koji ocjenu slovima dodjeljuje ocjenu slovima i tradicionalno daje ocjenu B- do a rezultat sredine paketa, tada očito morate znati kako izgleda sredina paketa numerički. Također vam je potreban način da rezultate prepoznate kao izvanredne, tako da možete utvrditi kada netko zaslužuje A ili A + (očito izvan savršenih rezultata), kao i ono što zaslužuje neuspješnu ocjenu.
Iz ovog i srodnih razloga, potpuni podaci o prosjecima uključuju informacije o tome koliko su općenito usko grupirani oko prosječne ocjene. Ovi se podaci prenose pomoću standardna devijacija i s tim u vezi varijance statističkog uzorka.
Mjere varijabilnosti
Gotovo ste sigurno čuli ili vidjeli pojam "prosjek" koji se koristi u odnosu na skup brojeva ili točaka podataka i vjerojatno imate ideju o tome što znači u svakodnevnom jeziku. Na primjer, ako pročitate da je prosječna visina Amerikanke oko 5 '4 ", to odmah zaključite "prosjek" znači "tipično" i da je otprilike polovica žena u Sjedinjenim Državama viša od ove, dok je otprilike polovica kraće.
Matematički, prosječno i znači potpuno su ista stvar: dodate sve vrijednosti u skupu i podijelite s brojem stavki u skupu. Na primjer, ako se skupina od 25 rezultata na testu od 10 pitanja kreće od 3 do 10 i zbraja do 196, prosječni (srednji) rezultat je 196/25 ili 7,84.
Medijana je srednja vrijednost u skupu, broj da polovica vrijednosti leži iznad, a polovica vrijednosti ispod. Obično je blizu prosjeka (prosjeka), ali nije ista stvar.
Formula varijance
Ako uočite niz od 25 rezultata poput gornjih i ne vidite gotovo ništa osim vrijednosti 7, 8 i 9, intuitivno će smisliti da bi prosjek trebao biti oko 8. Ali što ako ne vidite gotovo ništa osim rezultata 6 i 10? Ili pet ocjena 0 i 20 ocjena 9 ili 10? Sve to može stvoriti isti prosjek.
Varijansa je mjera rasprostranjenosti točaka u skupu podataka o srednjoj vrijednosti. Da biste ručno izračunali varijancu, uzimate aritmetičku razliku između svake podatkovne točke i prosjeka, kvadrirajte ih, dodajte zbroj kvadrata i rezultat podijelite s jednim manjim od broja podatkovnih točaka u uzorak. Primjer toga dat je kasnije. Također možete koristiti programe poput Excel-a ili web-mjesta poput brzih tablica (dodatne resurse potražite u Resursima).
Varijansa se označava s σ2, grčka "sigma" s eksponentom 2.
Standardno odstupanje
The standardna devijacija uzorka je jednostavno kvadratni korijen varijance. Razlog zašto se kvadrati koriste prilikom izračunavanja varijance je taj što ako jednostavno zbrojite pojedinačne razlike između prosjeka i svake pojedinačne točke podataka, zbroj je uvijek nula jer su neke od tih razlika pozitivne, a neke negativne i međusobno se poništavaju van Kvadriranje svakog pojma uklanja ovu zamku.
Problem varijance uzorka i standardne devijacije
Pretpostavimo da ste dobili 10 podataka:
4, 7, 10, 5, 7, 6, 9, 8, 5, 9
Pronađite prosjek, varijancu i standardno odstupanje.
Prvo dodajte 10 vrijednosti zajedno i podijelite s 10 da biste dobili prosjek (srednju vrijednost):
70/10 = 7.0
Da biste dobili varijancu, kvadrat razlikujte između svake podatkovne točke i prosjeka, zbrojite ih i podijelite rezultat s (10 - 1) ili 9:
- 7 - 4 = 3; 32 = 9
- 7 - 7 = 0; 02 = 0
- 7 - 10 = -3; (-3)2 = 9.. .
9 + 0 + 9 +... + 4 = 36
σ2= 36/9 = 4.0
Standardno odstupanje σ samo je kvadratni korijen od 4,0 ili 2,0.