Zamislite da imate top, ciljate srušiti zidine neprijateljskog dvorca kako bi vaša vojska mogla uletjeti i izvojevati pobjedu. Ako znate koliko brzo lopta putuje kad napusti top i znate koliko su udaljeni zidovi, pod kojim kutom lansiranja trebate ispaliti top da biste uspješno pogodili zidove?
Ovo je primjer problema s kretanjem projektila, a ovaj i mnoge slične probleme možete riješiti pomoću jednadžbi konstantnog ubrzanja kinematike i neke osnovne algebre.
Kretanje projektilaje kako fizičari opisuju dvodimenzionalno kretanje gdje je jedino ubrzanje koje predmetni predmet doživljava konstantno ubrzanje prema dolje zbog gravitacije.
Na površini Zemlje, konstantno ubrzanjeajednako jeg= 9,8 m / s2, a objekt u kojem se kreće projektil je uslobodan pads tim kao jedinim izvorom ubrzanja. U većini slučajeva proći će put parabole, pa će kretanje imati i vodoravnu i okomitu komponentu. Iako bi to imalo (ograničen) učinak u stvarnom životu, na sreću većina problema s kretanjem projektila iz srednje škole zanemaruje učinak otpora zraka.
Probleme kretanja projektila možete riješiti pomoću vrijednostigi neke druge osnovne informacije o trenutnoj situaciji, poput početne brzine projektila i smjera u kojem se kreće. Učenje rješavanja ovih problema neophodno je za polaganje većine uvodnih satova fizike i upoznaje vas s najvažnijim konceptima i tehnikama koje će vam trebati i na kasnijim tečajevima.
Jednadžbe kretanja projektila
Jednadžbe za kretanje projektila jednadžbe su konstantnog ubrzanja iz kinematike, jer je ubrzanje gravitacije jedini izvor ubrzanja koji morate uzeti u obzir. Četiri glavne jednadžbe koje su vam potrebne za rješavanje bilo kojeg problema s kretanjem projektila su:
v = v_0 + na \\ s = \ bigg (\ frac {v + v_0} {2} \ bigg) t \\ s = v_0t + \ frac {1} {2} na ^ 2 \\ v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2as
Ovdje,voznačava brzinu,v0 je početna brzina,aje ubrzanje (što je jednako silaznom ubrzanju odgu svim problemima kretanja projektila),sje pomak (iz početnog položaja) i kao i uvijek imate vremena,t.
Te su jednadžbe tehnički samo za jednu dimenziju i stvarno bi ih mogle predstaviti vektorske veličine (uključujući brzinuv, početna brzinav0 i tako dalje), ali u praksi ove verzije možete koristiti zasebno, jednom ux-smjer i jednom ug-smjera (i ako ste ikada imali trodimenzionalni problem, uz-smjer također).
Važno je zapamtiti da su tokoristi se samo za konstantno ubrzanje, što ih čini savršenima za opisivanje situacija u kojima je jedini utjecaj gravitacije ubrzanje, ali neprikladno za mnoge stvarne situacije u kojima trebaju biti dodatne snage smatra.
Za osnovne situacije ovo je sve što će vam trebati za opisivanje kretanja predmeta, ali ako je potrebno, možete uključiti i druge čimbenici, poput visine s koje je projektil lansiran ili ih čak riješiti za najvišu točku projektila na svojoj staza.
Rješavanje problema s kretanjem projektila
Sad kad ste vidjeli četiri verzije formule kretanja projektila na kojima ćete se morati koristiti rješavajući probleme, možete početi razmišljati o strategiji koju koristite za rješavanje pokreta projektila problem.
Osnovni pristup je podijeliti problem na dva dijela: jedan za vodoravno kretanje i jedan za vertikalno kretanje. To se tehnički naziva vodoravna komponenta i vertikalna komponenta, a svaka ima odgovarajući skup količine, kao što su vodoravna brzina, vertikalna brzina, vodoravno pomicanje, vertikalni pomak i tako dalje.
Ovim pristupom možete koristiti jednadžbe kinematike, napominjući to vrijemetje isti i za vodoravne i za vertikalne komponente, ali stvari poput početne brzine imat će različite komponente za početnu vertikalnu brzinu i početnu vodoravnu brzinu.
Presudno je razumjeti da je za dvodimenzionalno kretanjebilo kojikut gibanja može se rastaviti na vodoravnu i vertikalnu komponentu, ali kada ako to učinite, postojat će jedna vodoravna verzija dotične jednadžbe i jedna vertikalna verzija.
Zanemarivanje učinaka otpora zraka masovno pojednostavljuje probleme kretanja projektila jer ih vodoravni smjer nikad nema ubrzanje u problemu gibanja projektila (slobodni pad), jer utjecaj gravitacije djeluje samo okomito (tj. prema površini Zemlja).
To znači da je vodoravna komponenta brzine samo konstantna brzina, a kretanje se zaustavlja tek kad gravitacija spusti projektil na razinu tla. To se može koristiti za određivanje vremena leta, jer u potpunosti ovisi og-smjerno kretanje i može se u potpunosti razraditi na temelju vertikalnog pomicanja (tj. vremenatkada je vertikalni pomak nula govori vam vrijeme leta).
Trigonometrija u problemima kretanja projektila
Ako vam predmetni problem daje kut pokretanja i početnu brzinu, morat ćete upotrijebiti trigonometriju za pronalaženje vodoravne i okomite komponente brzine. Nakon što to učinite, možete koristiti metode opisane u prethodnom odjeljku da biste zapravo riješili problem.
U osnovi stvarate pravokutni trokut s hipotenuzom nagnutom pod kutom lansiranja (θ) i veličina brzine kao duljina, a tada je susjedna stranica vodoravna komponenta brzine, a suprotna stranica vertikalna brzina.
Nacrtajte pravokutni trokut prema uputama i vidjet ćete da ćete pronaći vodoravne i okomite komponente pomoću trigonometrijskih identiteta:
\ text {cos} \; θ = \ frac {\ text {susjedni}} {\ text {hipotenuza}}
\ text {grijeh} \; θ = \ frac {\ text {nasuprot}} {\ text {hipotenuza}}
Tako se ovi mogu preurediti (i sa suprotnim =vg a susjedni =vx, tj. vertikalna komponenta brzine, odnosno vodoravna komponenta brzine, i hipotenuza =v0, početna brzina) dati:
v_x = v_0 cos (θ) \\ v_y = v_0 sin (θ)
Ovo je sva trigonometrija koju ćete trebati učiniti za rješavanje problema s kretanjem projektila: uključivanje kuta lansiranja u jednadžbe, koristeći funkcije sinusa i kosinusa na vašem računalu i množenjem rezultata početnom brzinom projektil.
Dakle, da bismo prošli kroz primjer toga, s početnom brzinom od 20 m / s i kutom lansiranja od 60 stupnjeva, komponente su:
\ begin {align} v_x & = 20 \; \ text {m / s} × \ cos (60) \\ & = 10 \; \ text {m / s} \\ v_y & = 20 \; \ text {m / s} × \ sin (60) \\ & = 17.32 \; \ tekst {m / s} \ kraj {poravnato}
Primjer problema kretanja projektila: Vatromet koji eksplodira
Zamislite da vatromet ima osigurač dizajniran tako da eksplodira na najvišoj točki svoje putanje, a lansira se početnom brzinom od 60 m / s pod kutom od 70 stupnjeva u odnosu na vodoravnu.
Kako biste izračunali koju visinuheksplodira na? A koje bi vrijeme od lansiranja bilo kad eksplodira?
Ovo je jedan od mnogih problema koji uključuju maksimalnu visinu projektila, a trik za njihovo rješavanje je napomenuti da na najvećoj visinig-komponenta brzine je na trenutak 0 m / s. Uključivanjem ove vrijednosti zavg i odabirom najprikladnije kinematičke jednadžbe možete se lako uhvatiti u koštac s ovim i bilo kojim sličnim problemom.
Prvo, gledajući kinematičke jednadžbe, ova iskače (s dodanim indeksima koji pokazuju da radimo u okomitom smjeru):
v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
Ova je jednadžba idealna jer ubrzanje već znate (ag = -g), početnu brzinu i kut lansiranja (tako da možete razraditi vertikalnu komponentuvy0). Budući da tražimo vrijednostsg (tj. visinah) kadavg = 0, konačnu vertikalnu komponentu brzine možemo zamijeniti nulom i preureditisg:
0 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
−2a_ys_y = v_ {0y} ^ 2
s_y = \ frac {−v_ {0y} ^ 2} {2a_y}
Budući da ima smisla nazvati pravac prema goreg, a od ubrzanja uslijed gravitacijegusmjeren je prema dolje (tj. u -gsmjer), možemo se mijenjatiag za -g. Napokon, zvanjesg visinah, možemo napisati:
h = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g}
Dakle, jedino što trebate riješiti da biste riješili problem je vertikalna komponenta početne brzine, što možete učiniti pomoću trigonometrijskog pristupa iz prethodnog odjeljka. Dakle, s informacijama iz pitanja (60 m / s i 70 stupnjeva do vodoravnog lansiranja), ovo daje:
\ početak {poravnano} v_ {0y} & = 60 \; \ tekst {m / s} × \ sin (70) \\ & = 56,38 \; \ tekst {m / s} \ kraj {poravnato}
Sada možete riješiti maksimalnu visinu:
\ početak {poravnato} h & = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g} \\ & = \ frac {(56,38 \; \ text {m / s}) ^ 2} {2 × 9,8 \; \ text {m / s} ^ 2} \\ & = 162,19 \ text {m} \ end {usklađeno}
Tako će vatromet eksplodirati na otprilike 162 metra od tla.
Nastavak primjera: Vrijeme leta i prijeđena udaljenost
Nakon rješavanja osnova problema kretanja projektila koji se temelji isključivo na vertikalnom kretanju, ostatak problema može se lako riješiti. Prije svega, vrijeme od lansiranja eksplozije osigurača može se pronaći korištenjem jedne od ostalih jednadžbi konstantnog ubrzanja. Gledajući opcije, slijedeći izraz:
s_y = \ bigg (\ frac {v_y + v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\
ima vremenat, što je ono što želite znati; pomak, koji znate za maksimalnu točku leta; početna vertikalna brzina; i brzina u trenutku najveće visine (za koju znamo da je nula). Dakle, na temelju toga, jednadžba se može preurediti tako da dobije izraz za vrijeme leta:
s_y = \ bigg (\ frac {v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\ t = \ frac {2s_y} {v_ {0y}}
Dakle, umetanje vrijednosti i rješavanje zatdaje:
\ početak {poravnato} t & = \ frac {2 × 162,19 \; \ tekst {m}} {56,38 \; \ text {m / s}} \\ & = 5,75 \; \ text {s} \ kraj {poravnato}
Tako će vatromet eksplodirati 5,75 sekundi nakon lansiranja.
Konačno, možete lako odrediti prijeđenu vodoravnu udaljenost na temelju prve jednadžbe koja (u vodoravnom smjeru) navodi:
v_x = v_ {0x} + a_xt
Međutim, napominjući da u. Nema ubrzanjax-smjernica, ovo je jednostavno:
v_x = v_ {0x}
Znači da je brzina uxsmjer je isti tijekom cijelog putovanja vatrometa. S obzirom na tov = d/t, gdjedje prijeđena udaljenost, lako je to vidjetid = vt, pa tako i u ovom slučaju (sasx = d):
s_x = v_ {0x} t
Tako da možete zamijenitiv0x s trigonometrijskim izrazom iz ranijeg, unesite vrijednosti i riješite:
\ begin {align} s_x & = v_0 \ cos (θ) t \\ & = 60 \; \ text {m / s} × \ cos (70) × 5.75 \; \ text {s} \\ & = 118 \; \ text {m} \ kraj {poravnato}
Tako će prije eksplozije putovati oko 118 m.
Dodatni problem kretanja projektila: Vatromet Dud
Da biste riješili dodatni problem, zamislite vatromet iz prethodnog primjera (pokrenuta početna brzina 60 m / s na 70 stupnjeva prema horizontali) nije uspio eksplodirati na vrhuncu parabole i umjesto toga sletjeti na tlo neeksplodiran. Možete li izračunati ukupno vrijeme leta u ovom slučaju? Koliko će udaljeno od mjesta lansiranja u vodoravnom smjeru sletjeti, ili drugim riječima, što jedometprojektila?
Ovaj problem djeluje u osnovi na isti način, tamo gdje su vertikalne komponente brzine i pomaka glavne stvari koje morate uzeti u obzir da biste odredili vrijeme leta, a od toga možete odrediti domet. Umjesto da detaljno riješite rješenje, to možete sami riješiti na temelju prethodnog primjera.
Postoje formule za domet projektila koje možete potražiti ili izvesti iz jednadžbi konstantnog ubrzanja, ali to nije stvarno potrebno jer već znate maksimalnu visinu projektila, a od ovog trenutka to je upravo u slobodnom padu pod utjecajem gravitacija.
To znači da možete odrediti vrijeme potrebno vatrometu da padne na zemlju, a zatim to dodati vremenu leta do maksimalne visine kako biste odredili ukupno vrijeme leta. Od tada je isti postupak korištenja konstantne brzine u vodoravnom smjeru zajedno s vremenom leta za određivanje dometa.
Pokažite da je vrijeme leta 11,5 sekundi, a domet 236 m, uz napomenu da ćete trebati izračunajte vertikalnu komponentu brzine u mjestu u kojem se kao tlo udari o tlo korak.