Fizičari uspoređuju trenutke inercije za rotirajuće objekte kako bi utvrdili koje će biti teže ubrzati ili usporiti. To se odnosi na situacije iz stvarnog svijeta poput otkrivanja koji će se predmeti najbrže kotrljati u utrci.
Čimbenici koji mijenjaju trenutak tromosti objekta jesu njegova masa, način na koji je ta masa raspoređena - određena njezinim oblikom i radijusom - i os rotacije na kojoj se vrti.
Trenuci tromosti za zajedničke predmete
Ovaj dijagram prikazuje jednadžbe momenta tromosti za nekoliko uobičajenih oblika koji se okreću oko različitih osi rotacije.
Usporedba trenutaka tromosti
Evo nekoliko primjera fizičkih problema koji zahtijevaju korištenje trenutaka tromosti za usporedbu različitih objekata.
1. Što će od sljedećeg najlakše započeti s predenjem: šuplja kugla polumjera 0,2 m od 7 kg ili čvrsta kugla od 10 kg istog radijusa?
Započnite pronalaženjem inercijskih trenutaka za svaki objekt. Prema tablici, jednadžba za ašuplja kuglaje:I = 2 / 3mr2, i jednadžba za ačvrsta kuglajeI = 2 / 5mr2.
Zamjena zadanih masa i polumjera:
Šuplja kugla: I = 2/3 (7 kg) (0,2 m)2 = 0.19 kgm2
Čvrsta sfera: I = 2/5 (10 kg) (0,2 m)2 = 0.16 kgm2
Trenutak tromosti jemanji za čvrstu kuglu, tako će i bitinajlakše početi vrtjeti.
2. Na koji je način najteže okretati olovku: otprilike dužine, oko središta ili kraja preko kraja? Pretpostavimo da olovka ima duljinu od 10 cm (0,1 m) i polumjer presjeka 3 mm (0,003 m).
U ovom slučaju, masa olovke nije bitna u usporedbi jer se ne mijenja.
Da biste utvrdili koje se jednadžbe primjenjuju, približite oblik olovke kao cilindra.
Tada su tri nužna momenta inercijske jednadžbe:
Cilindar o svojoj duljini(os prolazi cijelu stvar, od vrha do gumice, dakle polumjer do osi rotacijejenjegov polumjer presjeka):
I = \ frac {1} {2} mr ^ 2 = \ frac {1} {2} m (0,003) ^ 2 = 0,0000045m
Cilindar oko njegovog središta(drži se u sredini, pa je polumjer njegove rotacijepola njegove duljine):
I = \ frac {1} {12} mr ^ 2 = \ frac {1} {12} m (0,05) ^ 2 = 0,0002083m
Cilindar oko njegovog kraja(pridržava ga vrh ili gumica, dakle radijus do osi rotacijejenjegova duljina):
I = \ frac {1} {3} mr ^ 2 = \ frac {1} {3} m (0,1) ^ 2 = 0,003333m
Što je moment inercije objekta veći, to je teže započeti (ili zaustaviti) njegovu rotaciju.Budući da se svaka vrijednost pomnoži s istomm, što je veća vrijednost razlomka pomnožena s r2, što će biti veći trenutak tromosti. U ovom slučaju 0,0033333> 0,0002083> 0,0000045, tako jeteže okretati olovku oko njezina krajanego oko druge dvije osi.
3. Koji će objekt prvo doći do dna rampe ako svi imaju istu masu i radijus i ako su svi istodobno pušteni s vrha: obruč, cilindar ili čvrsta kugla? Zanemari trenje.
Ključ za odgovor na ovaj problem je primjena razumijevanjačuvanje energije. Ako svi predmeti imaju jednaku masu i započinju na istoj visini, moraju započeti s jednakom količinomgravitacijska potencijalna energija. Ovo jeukupna energijaimaju na raspolaganju pretvoriti u kinetičku energiju i pomaknuti se niz rampu.
Budući da će se predmeti kotrljati niz rampu, svoju početnu potencijalnu energiju moraju pretvoriti u obojerotacijske i linearne kinetičke energije.
U tome je kvaka: što više energije od te ukupne pite odnese predmetupočnite se vrtjeti, to će manje imati na raspolaganju zalinearno gibanje. To znacišto je lakše pokrenuti objekt, brže će se linearno kretati niz rampu, pobjeđujući u utrci.
Tada, budući da su sve mase i polumjeri jednaki, jednostavno uspoređivanje razlomaka ispred svakog trenutka jednadžbe inercije otkriva odgovor:
Čvrsta kugla: I =2/5gosp2
Obruč oko osi: I = mr2
Čvrsti cilindar o svojoj dužini: I =1/2gosp2
Od najmanjeg do najvećeg momenta tromosti, a time iprvi koji je zadnji došao do dna: kugla, cilindar, obruč.