U svakodnevnom se diskursu "brzina" i "brzina" često koriste naizmjenično. Međutim, u fizici ti pojmovi imaju specifična i različita značenja. "Brzina" je brzina pomicanja predmeta u svemir, a daje se samo brojem s određenim jedinicama (često u metrima u sekundi ili miljama na sat). S druge strane, brzina je brzina povezana sa smjerom. Brzina se tada naziva skalarna veličina, dok je brzina vektorska veličina.
Kada automobil kopči autocestom ili bejzbol fijuće zrakom, brzina ovih predmeta mjeri se u odnosu na tlo, dok brzina uključuje više informacija. Na primjer, ako se nalazite u automobilu koji putuje brzinom od 70 milja na sat, Interstate 95 na istočnoj obali Sjedinjene Države, također je korisno znati ide li prema sjeveroistoku prema Bostonu ili prema jugu Florida. S bejzbolom ćete možda htjeti znati mijenja li se njegova koordinata y brže od koordinate x (muha) ili je obrnuto (linijski pogon). Ali što je s okretanjem guma ili okretanjem (okretanjem) bejzbola dok se automobil i lopta kreću prema svom konačnom odredištu? Za ove vrste pitanja fizika nudi konceptkutna brzina.
Osnove kretanja
Stvari se kreću kroz trodimenzionalni fizički prostor na dva glavna načina: prevođenje i rotacija. Prijevod je premještanje cijelog predmeta s jednog mjesta na drugo, poput automobila koji vozi iz New Yorka u Los Angeles. Rotacija je, s druge strane, ciklično kretanje predmeta oko fiksne točke. Mnogi predmeti, poput bejzbola u gornjem primjeru, istodobno pokazuju obje vrste pokreta; dok se muha muha kreće zrakom od matične ploče prema vanjskoj ogradi, također se vrti zadanom brzinom oko vlastitog središta.
Opisivanje ove dvije vrste gibanja tretira se kao zasebni fizički problem; to jest, pri izračunavanju udaljenosti koju lopta putuje zrakom na temelju stvari poput svog početnog kuta lansiranja i brzine kojom ostavlja palicu, možete zanemariti njezinu rotaciju, a prilikom izračunavanja rotacije možete je tretirati kao da trenutno sjedi na jednom mjestu svrhe.
Jednadžba kutne brzine
Prvo, kada govorite o "kutnom" bilo čemu, bilo da je to brzina ili neka druga fizička veličina, prepoznajte da, jer imate posla s kutovima, govorite o putovanju u krugu ili dijelovima toga. Iz geometrije ili trigonometrije možete se sjetiti da je opseg kruga njegov promjer puta konstante pi, iliπd. (Vrijednost pi je oko 3,14159.) To se češće izražava kroz radijus krugar, što je polovica promjera, što čini opseg2πr.
Uz to, vjerojatno ste negdje putem naučili da se krug sastoji od 360 stupnjeva (360 °). Ako pomaknete udaljenost S duž kružnice, tada je kutni pomak θ jednak S / r. Jedna puna revolucija tada daje 2πr / r, što ostavlja samo 2π. To znači da se kutovi manji od 360 ° mogu izraziti pi, ili drugim riječima, radijanima.
Uzimajući sve ove podatke zajedno, možete izraziti kutove ili dijelove kruga u jedinicama koje nisu stupnjevi:
360 ^ o = (2 \ pi) \ text {radijani ili} 1 \ text {radian} = \ frac {360 ^ o} {2 \ pi} = 57,3 ^ o
Dok se linearna brzina izražava u duljini u jedinici vremena, kutna brzina mjeri se u radijanima u jedinici vremena, obično u sekundi.
Ako znate da se čestica kreće kružnim putem brzinomvna udaljenostirod središta kruga, sa smjeromvuvijek okomita na polumjer kružnice, tada se može zapisati kutna brzina
\ omega = \ frac {v} {r}
gdjeωje grčko slovo omega. Jedinice kutne brzine su radijani u sekundi; ovu jedinicu možete tretirati i kao "recipročne sekunde", jer v / r daje m / s podijeljeno s m ili s-1, što znači da su radijani tehnički bezbrojna veličina.
Jednadžbe rotacijskog gibanja
Formula kutnog ubrzanja izvedena je na isti bitan način kao i formula kutne brzine: To je samo linearno ubrzanje u smjeru okomitom na radijus kruga (ekvivalentno njegovom ubrzanju duž tangente kružne staze u bilo kojoj točki) podijeljen s radijusom kruga ili dijela kruga, koji je:
To također daje:
\ alpha = \ frac {\ omega} {t}
jer za kružno kretanje:
a_t = \ frac {\ omega r} {t} = \ frac {v} {t}
α, kao što vjerojatno znate, grčko je slovo "alfa". Indeks "t" ovdje označava "tangentu".
Dovoljno je neobično da se rotacijsko kretanje može pohvaliti drugom vrstom ubrzanja, nazvanom centripetalno ("traženje centra") ubrzanje. To daje izraz:
a_c = \ frac {v ^ 2} {r}
To ubrzanje usmjereno je prema točki oko koje se predmetni objekt okreće. To se može činiti čudnim, jer se objekt ne približava ovoj središnjoj točki od radijusarpopravljeno je. Centripetalno ubrzanje shvatite kao slobodni pad u kojem ne postoji opasnost od udara predmeta o tlo, jer sila koja vuče objekt prema njemu (obično gravitacija) točno se nadoknađuje tangencijalnim (linearnim) ubrzanjem opisanim prvom jednadžbom u ovom odjeljku. Akoacnisu bili jednakiat, objekt bi ili odletio u svemir ili bi se ubrzo zabio u sredinu kruga.
Povezane veličine i izrazi
Iako se kutna brzina obično izražava, kao što je napomenuto, u radijanima u sekundi, u nekim slučajevima može biti poželjno ili potrebno koristiti stupnjeve u sekundi umjesto toga, ili obratno, pretvoriti iz stupnjeva u radijane prije rješavanja a problem.
Recimo da su vam rekli da se izvor svjetlosti okreće za 90 ° svake sekunde konstantnom brzinom. Kolika je njegova kutna brzina u radijanima?
Prvo, upamtite da su 2π radijana = 360 ° i postavite omjer:
\ frac {360} {2 \ pi} = \ frac {90} {\ omega} \ podrazumijeva 360 \ omega = 180 \ pi \ podrazumijeva \ omega = \ frac {\ pi} {2}
Odgovor je pola pi radijana u sekundi.
Ako bi vam dalje rekli da snop svjetlosti ima domet od 10 metara, koliki bi bio vrh linearne brzine snopav, njegovo kutno ubrzanjeαi njegovo centripetalno ubrzanjeac?
Riješiti zav, odozgo, v = ωr, gdje je ω = π / 2 i r = 10m:
\ frac {\ pi} {2} 10 = 15,7 \ text {m / s}
Pronaćiα, pretpostavimo da je kutna brzina postignuta za 1 sekundu, a zatim:
\ alpha = \ frac {\ omega} {t} = \ frac {\ pi / 2} {1} = \ frac {\ pi} {2} \ text {rad / s} ^ 2
(Imajte na umu da ovo djeluje samo za probleme kod kojih je kutna brzina konstantna.)
Konačno, također odozgo,
a_c = \ frac {v ^ 2} {r} = \ frac {15,7 ^ 2} {10} = 24,65 \ text {m / s} ^ 2
Kutna brzina vs. Linearna brzina
Nadovezujući se na prethodni problem, zamislite se na vrlo velikoj vrtuljci, maloj radijusu od 10 kilometara (10 000 metara). Ova vrteška napravi jednu potpunu revoluciju svake 1 minute i 40 sekundi ili svakih 100 sekundi.
Jedna posljedica razlike između kutne brzine, koja je neovisna o udaljenosti od os rotacije i linearna kružna brzina, koja nije, jest da dvoje ljudi doživljava istoωmože proći kroz znatno drugačije fizičko iskustvo. Ako se slučajno nalazite na 1 metar od središta ako je ta navodna, masivna vrtuljka, vaša linearna (tangencijalna) brzina:
v_t = \ omega r = \ frac {2 \ pi} {100} (1) = 0,0628 \ text {m / s}
ili 6,29 cm (manje od 3 inča) u sekundi.
Ali ako ste na rubu ovog čudovišta, vaša linearna brzina je:
v_t = \ omega r = \ frac {2 \ pi} {100} (10000) = 628 \ text {m / s}
To je oko 1.406 milja na sat, brže od metka. Čekaj!