क्या आपने कभी सोचा है कि उन असंख्य प्लास्टिक डिस्पोजेबल पानी के कपों में से एक में कितना पानी या कॉफी फिट हो सकती है, जो शीर्ष पर की तुलना में आधार पर संकरा है? दूसरे शब्दों में, लगभग हर कागज, प्लास्टिक या अन्य डिस्पोजेबल कप जिसे आपने कभी देखा या इस्तेमाल किया है? (निष्पक्ष होने के लिए, कुछ कपों में ढलान वाले पक्ष नहीं होते हैं और इस प्रकार बेलनाकार होते हैं, लेकिन यह केवल लागू होता है स्थायी कप।)
ऊपर वर्णित आकृति का प्रकार a. पर आधारित है शंकु, जो अंतरिक्ष के माध्यम से व्यापक एक रेखा का परिणाम है और एक घुमावदार पथ जैसे कि एक वृत्त (सबसे सरल मामले में) या एक दीर्घवृत्त का पता लगाता है। एक कप आमतौर पर इंगित नहीं किया जाता है (कुछ जो जमे हुए व्यवहार करते हैं), लेकिन यह अभी भी एक शंकु का "टुकड़ा" है, जो ज्यामितीय रूप से बोल रहा है। इससे, धैर्य के साथ, वॉल्यूम का पता लगाना आसान हो जाता है।
एक शंकु का आयतन
एक नियमित, या दाएं, शंकु (अर्थात, एक वृत्ताकार आधार वाला) के आयतन का सूत्र है
वी=\frac{1}{3}πr^2h
कहा पे आर आधार की त्रिज्या है और एच शंकु की ऊंचाई है। इसके अलावा, चूंकि एक दायां शंकु एक साथ रखे गए दो समकोण त्रिभुजों की तरह दिखता है, लंबाई
s=\sqrt{r^2 + h^2}
एक पतला कप की मात्रा: भाग एक
मान लें कि आपके पास एक कप है जो आधार पर 8 सेंटीमीटर (सेमी) चौड़ा है, शीर्ष पर 10 सेंटीमीटर और 15 सेंटीमीटर लंबा है। सेमी. में यह कितना द्रव धारण कर सकता है3, जिसे मिलीलीटर (एमएल) भी कहा जाता है?
इस समस्या से निपटने का एक तरीका यह है कि कप का एक क्रॉस-सेक्शन खींचा जाए, जो आपके देखने के क्षेत्र के बिल्कुल आधे लंबवत में कट जाने के बाद किनारे से कैसा दिखता है। यदि आप उन दो बिंदुओं से ऊपर की ओर लंबवत रेखाएँ खींचते हैं जहाँ आधार पक्षों से ऊपर की ओर मिलता है कप, अब आपने क्रॉस-सेक्शन को दो बराबर, परावर्तित समकोण त्रिभुजों में विभाजित कर दिया है और a आयताकार। त्रिभुजों में 15 सेमी के लंबे "पैर" और 1 सेमी के छोटे "पैर" होते हैं (आधार की चौड़ाई और शीर्ष चौड़ाई के बीच के अंतर को विभाजित करते हुए)।
एक पतला कप की मात्रा: भाग दो
ध्यान दें कि यदि आप अपने आरेख में कप के किनारों को आधार के नीचे एक बिंदु तक बढ़ाते हैं तो क्या होता है। शीर्ष के केंद्र से उस बिंदु की ओर एक रेखा का विस्तार करें जहां ये रेखाएं अभिसरण करती हैं। (हो सकता है कि आपके पास भुजाओं को आपस में मिलाने और एक बंद त्रिभुज बनाने के लिए जगह न हो, लेकिन जितना हो सके उतना करीब पहुंचें,)
समरूप त्रिभुजों के सिद्धांत के कारण, आप जानते हैं कि ऊपर से त्रिभुजों की लंबी टांगों का अनुपात (15 सेमी) और छोटी टांग (1 सेमी) या 15 से 1, "कप" के आधार के बीच नए बनाए गए त्रिकोण के छोटे पैर के लंबे पैर के अनुपात के समान होना चाहिए और बिंदु। चूंकि छोटे पैर का मान 4 सेमी है, इसलिए लंबा पैर इससे 15 गुना या 60 सेमी होना चाहिए।
इस प्रकार अब आप 15 + 60 = 75 सेमी की कुल ऊंचाई और 10 सेमी की चौड़ाई के साथ एक शंकु के क्रॉस-सेक्शन के साथ काम कर रहे हैं, जिसका अर्थ है 5 सेमी की त्रिज्या। इस शंकु का आयतन घटाकर कप के आधार तक फैले शंकु का आयतन, जिसकी ऊँचाई 60 सेमी और चौड़ाई 8 सेमी (r = 4 सेमी) है, वांछित परिणाम देता है:
\begin{aligned} \frac{1}{3}×π×5^2×75 = 1963.5 \text{ mL} \\ \frac{1}{3}×π×4^2×60 = 1005.3 \text {एमएल} \\ १९६३.५ - १००५.३ = ९५८.२ \पाठ{एमएल} \end{संरेखित}
इस प्रकार आपका कप 1 L (1,000 mL) तरल के बहुत करीब है।
कोन और कप वॉल्यूम कैलकुलेटर
जानकारी के विभिन्न प्रारंभिक संयोजन दिए गए शंकु से जुड़े कैलकुलेटर की सूची के लिए संसाधन देखें। वैकल्पिक रूप से, आप ऊपर की तरह एक दृष्टिकोण का उपयोग कर सकते हैं और कप को विभिन्न आकारों में विभाजित कर सकते हैं, फिर उपयोग करें योग ज्ञात करने के लिए उपयुक्त संयोजनों में सरल सूत्र (जैसे घन के आयतन का सूत्र) मात्रा।