वास्तविक दुनिया के संदर्भ में, एक परवलय वह चाप है जिसे एक गेंद फेंकते समय बनाती है, या एक उपग्रह डिश का विशिष्ट आकार। गणित के संदर्भ में, एक परवलय वह आकार जो आपको तब मिलता है जब आप एक ठोस शंकु को एक ऐसे कोण पर काटते हैं जो उसके एक पक्ष के समानांतर होता है, यही कारण है कि इसे इनमें से एक के रूप में जाना जाता है। "शंकु खंड।" परवलय के समीकरण को खोजने का सबसे आसान तरीका एक विशेष बिंदु के अपने ज्ञान का उपयोग करना है, जिसे शीर्ष कहा जाता है, जो परवलय पर स्थित होता है अपने आप।
एक परवलय सूत्र को पहचानना
यदि आप दो चरों में द्विघात समीकरण देखते हैं, तोवाई = कुल्हाड़ी2 + बीएक्स + सी, जहां एक 0, तो बधाई हो! आपको एक परवलय मिल गया है। द्विघात समीकरण को कभी-कभी परवलय के "मानक रूप" सूत्र के रूप में भी जाना जाता है।
लेकिन अगर आपको परवलय का ग्राफ़ दिखाया जाता है (या पाठ या "शब्द" में परवलय के बारे में थोड़ी जानकारी दी जाती है) समस्या" प्रारूप), आप अपने परवलय को उस रूप में लिखना चाहते हैं जिसे वर्टेक्स फॉर्म के रूप में जाना जाता है, जो दिखता है यह:
वाई = ए (एक्स - एच)2 + के(यदि परवलय लंबवत रूप से खुलता है)
एक्स = ए (वाई - के)2 + एच(यदि परवलय क्षैतिज रूप से खुलता है)
परवलय का शीर्ष क्या है?
किसी भी सूत्र में, निर्देशांक (h, k) परवलय के शीर्ष का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो वह बिंदु है जहां परवलय की समरूपता की धुरी परवलय की रेखा को पार करती है। या इसे दूसरे तरीके से रखने के लिए, यदि आप परवलय को बीच में आधा दाहिनी ओर मोड़ना चाहते हैं, तो शीर्ष परवलय का "शिखर" होगा, ठीक उसी जगह जहां यह कागज की तह को पार करता है।
एक परवलय का समीकरण ढूँढना
यदि आपको परवलय का समीकरण खोजने के लिए कहा जा रहा है, तो आपको या तो इसका शीर्ष बताया जाएगा परवलय और उस पर कम से कम एक अन्य बिंदु, या आपको उनका पता लगाने के लिए पर्याप्त जानकारी दी जाएगी बाहर। एक बार आपके पास यह जानकारी हो जाने के बाद, आप परवलय के समीकरण को तीन चरणों में पा सकते हैं।
यह कैसे काम करता है यह देखने के लिए एक उदाहरण समस्या करते हैं। कल्पना कीजिए कि आपको ग्राफ़ के रूप में एक परवलय दिया गया है। आपको बताया गया है कि परवलय का शीर्ष बिंदु (1,2) पर है, कि यह लंबवत रूप से खुलता है और परवलय पर दूसरा बिंदु (3,5) है। परवलय का समीकरण क्या है?
उन सभी अक्षरों और संख्याओं के चारों ओर तैरने के साथ, यह जानना कठिन हो सकता है कि आप एक सूत्र खोजने के लिए "किया" कब कर रहे हैं! एक सामान्य नियम के रूप में, जब आप दो आयामों में समस्याओं के साथ काम कर रहे होते हैं, तो आपका काम तब होता है जब आपके पास केवल दो चर बचे होते हैं। ये चर आमतौर पर इस प्रकार लिखे जाते हैं:एक्सतथाआप,खासकर जब आप "मानकीकृत" आकृतियों जैसे कि परवलय के साथ काम कर रहे हों।
आपकी पहली प्राथमिकता यह तय करना है कि आप किस शीर्ष समीकरण का उपयोग करेंगे। याद रखें, यदि परवलय लंबवत रूप से खुलता है (जिसका अर्थ यह हो सकता है कि U का खुला भाग ऊपर या नीचे की ओर है), तो आप इस समीकरण का उपयोग करेंगे:
वाई = ए (एक्स - एच)2 + के
और यदि परवलय क्षैतिज रूप से खुलता है (जिसका अर्थ यह हो सकता है कि U का खुला भाग दाएं या बाएं ओर है), तो आप इस समीकरण का उपयोग करेंगे:
एक्स = ए (वाई - के)2 + एच
क्योंकि उदाहरण परवलय लंबवत रूप से खुलता है, आइए पहले समीकरण का उपयोग करें।
इसके बाद, चरण 1 में आपके द्वारा चुने गए सूत्र में परवलय के शीर्ष निर्देशांक (h, k) को प्रतिस्थापित करें। चूंकि आप जानते हैं कि शीर्ष (1,2) पर है, आप h = 1 और k = 2 में स्थानापन्न करेंगे, जो आपको निम्नलिखित देता है:
वाई = ए (एक्स -1)2 + 2
आखिरी चीज जो आपको करनी है वह है. का मान ज्ञात करनाए. ऐसा करने के लिए कोई भी बिंदु चुनें (एक्स, वाई) परवलय पर, जब तक कि वह बिंदु शीर्ष न हो, और इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
इस मामले में, आपको पहले ही शीर्ष पर एक और बिंदु के लिए निर्देशांक दिए जा चुके हैं: (3,5)। तो आप x = 3 और y = 5 में स्थानापन्न करेंगे, जो आपको देता है:
5 = ए (3 - 1)2 + 2
अब आपको बस इतना करना है कि उस समीकरण को हल करेंए. थोड़ा सा सरलीकरण आपको निम्नलिखित मिलता है:
5 = ए (2)2 + 2, जिसे और सरल बनाया जा सकता है:
5 = ए (4) + 2, जो बदले में बन जाता है:
3 = ए (4), और अंत में:
ए = 3/4
अब जबकि आपको. का मान मिल गया हैए, उदाहरण को समाप्त करने के लिए इसे अपने समीकरण में बदलें:
वाई = (3/4)(एक्स -1)2 + 2शीर्ष (1,2) और बिंदु (3,5) वाले परवलय के लिए समीकरण है।
